Оглавление
- 1 Нулевой штеллензатц Гильберта
- 1.1 Nullstellensatz Гильберта
- 1.2 Формулировка
- 1.3 Слабый Nullstellensatz
- 1.4 Связь с фундаментальной теоремой алгебры
- 1.5 Связь с радикальными идеалами
- 1.6 Связь с Галуа
- 1.7 Доказательства
- 1.8 Обобщения
- 1.9 Эффективный нулевой штеллензатц
- 1.10 Верхняя граница степени gi
- 1.11 Улучшения оценок
- 1.12 Проективный нулевой штеллензатц
- 1.13 Аналитический нулевой штеллензатц
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Теорема Гильберта о нулевом месте
Нулевой штеллензатц Гильберта
-
Nullstellensatz Гильберта
- Теорема о нулях, устанавливающая связь между геометрией и алгеброй
- Связывает алгебраические множества с идеалами в кольцах многочленов
- Доказана Дэвидом Гильбертом в 1893 году
-
Формулировка
- Алгебраическое множество V(I) состоит из кортежей x = (x1, …, xn) в Kn таких, что f(x) = 0 для всех f в I
- Если p обращается в нуль на V(I), то существует натуральное число r такое, что p^r в I
-
Слабый Nullstellensatz
- I содержит 1 тогда и только тогда, когда многочлены в I не имеют общих нулей в Kn
- В случае k = C, n = 1, восстанавливается фундаментальная теорема алгебры
-
Связь с фундаментальной теоремой алгебры
- Nullstellensatz обобщает фундаментальную теорему алгебры для многомерных многочленов
- Слабый Nullstellensatz утверждает, что V(I) не может быть пустым
-
Связь с радикальными идеалами
- Для каждого идеального J, V(J) не может быть пустым
- В алгебраически замкнутом поле существует общий ноль для всех многочленов в идеале
-
Связь с Галуа
- Существует связь Галуа между подмножествами пространства и подмножествами алгебры
- Каждый максимальный идеал кольца многочленов имеет вид (X1 – a1, …, Xn – an) для некоторых a1, …, an
-
Доказательства
- Лемма Зариского: если поле конечно порождено как ассоциативная алгебра, то оно конечно порождено как векторное пространство
- Использование результирующих значений: результирующий показатель двух многочленов может быть расширен до общего нуля
- Использование баз Гребнера: идеал содержит 1 тогда и только тогда, когда его приведенный базис Гребнера равен 1
-
Обобщения
- Nullstellensatz является результатом теории колец Якобсона
- Nullstellensatz можно рассматривать в теоретико-схемных терминах как утверждение о вертикальных сечениях
-
Эффективный нулевой штеллензатц
- Nullstellensatz Гильберта утверждает принадлежность многочлена к идеалу.
- Обычные доказательства неконструктивны и неэффективны.
- Вопрос о существовании эффективного способа вычисления многочленов gi.
-
Верхняя граница степени gi
- Верхняя граница степени gi сводит задачу к конечной системе линейных уравнений.
- Грете Герман дала верхнюю оценку для задачи об идеальном членстве.
- Майр и Мейер показали, что каждая общая верхняя граница для задачи идеального членства дважды экспоненциальна.
-
Улучшения оценок
- У. Дейл Браунавелл дал верхнюю границу для эффективного Nullstellensatz, экспоненциально зависящую от числа переменных.
- Янош Коллар дал чисто алгебраическое доказательство с лучшей оценкой.
- M. Сомбра улучшил оценку Коллара для степеней ниже 3.
-
Проективный нулевой штеллензатц
- Соответствие между однородными идеалами многочленов и алгебраическими подмножествами проективного пространства.
- Однородный идеал порождается однородными многочленами, обращающимися в нуль на подмножестве.
-
Аналитический нулевой штеллензатц
- Нулевой штеллензатц справедлив для зародышей голоморфных функций в точке комплексного n-пространства.
- Для каждого идеала I ⊆ OCn,0, V0(I) обозначает класс эквивалентности множества.
- Аналитический Nullstellensatz утверждает, что для каждого идеального I ⊆ OCn,0, левая часть является радикалом от I.