Теорема о разделении гиперплоскости

От / / Оставьте комментарий

Оглавление1 Теорема о разделении гиперплоскостей1.1 Теорема о разделении гиперплоскостей1.2 Доказательство теоремы1.3 Обобщение на бесконечномерные пространства1.4 Следствия и контрпримеры1.5 Применение в […]

'Герман Минковский', 'Линейные функционалы', 'Теоремы выпуклой геометрии', Hermann Minkowski, Linear functionals, Theorems in convex geometry

Теорема о разделении гиперплоскостей

  • Теорема о разделении гиперплоскостей

    • Теорема утверждает, что между двумя непересекающимися выпуклыми множествами в n-мерном евклидовом пространстве существует гиперплоскость.  
    • В одной версии теоремы, если множества замкнуты и хотя бы одно из них компактно, гиперплоскость разделяет их строго.  
    • В другой версии, если множества открыты, гиперплоскость разделяет их, но не обязательно строго.  

  • Доказательство теоремы

    • Доказательство основано на лемме, утверждающей существование точек на минимальном расстоянии между множествами.  
    • Построение гиперплоскостей, перпендикулярных отрезку между точками, доказывает теорему.  

  • Обобщение на бесконечномерные пространства

    • Теорема Хана-Банаха обобщает теорему на бесконечномерные пространства.  
    • В бесконечномерных пространствах существуют примеры, когда множества не могут быть разделены замкнутой гиперплоскостью.  

  • Следствия и контрпримеры

    • Теорема о разделении гиперплоскостей имеет следствия для открытых и замкнутых множеств.  
    • Существуют контрпримеры, показывающие, что теорема не всегда верна.  

  • Применение в методах опорных векторов

    • Оптимально разделяющая гиперплоскость используется в методах опорных векторов.  
    • Гиперплоскость с максимальным запасом разделяет две выпуклые оболочки точек и равноудалена от них.  

  • Расширение аффинной области

    • Если аффинный промежуток A не охватывает всё пространство Rn, его расширяют до опорной гиперплоскости.  
    • Повторное привязка (A) = int(A) отделена от повторного привязки ({a0}) = {a0}, что позволяет применить теорему.  

  • Обратная теорема

    • Существование гиперплоскости, разделяющей два выпуклых множества, не означает, что они не пересекаются.  
    • Оба множества могут иметь точки на гиперплоскости.  

  • Контрпримеры и уникальность

    • Если один из A или B не выпуклый, возможны контрпримеры.  
    • Замкнутые полуплоскость и гипербола не имеют строго разделяющей гиперплоскости.  
    • Замкнутый квадрат и открытый квадрат могут иметь разные разделяющие гиперплоскости.  
    • Разделяющая гиперплоскость может быть уникальной или нет.  

  • Рупорный угол

    • В R2 единичный диск не пересекается с открытым интервалом, но единственная разделяющая гиперплоскость содержит все точки интервала.  
    • Если A закрыт, а B относительно открыт, не обязательно существует строгое разделение для B.  
    • Если A замкнутый многогранник, такое разделение существует.  

  • Лемма Фаркаса и связанные результаты

    • Лемму Фаркаса можно понимать как теоремы о разделении гиперплоскостей для выпуклых тел, определяемых конечным числом линейных неравенств.  

  • Использование для обнаружения столкновений

    • Теорема о разделяющей оси используется для обнаружения столкновений между полигональными сетками.  
    • Нормаль к каждой грани или другое направление элемента используется как разделительная ось.  
    • В 3D требуются дополнительные оси из перекрестных произведений пар ребер.  
    • Параллельные оси могут быть рассчитаны как единая ось для повышения эффективности.  

Полный текст статьи:

Теорема о разделении гиперплоскости

Похожие статьи:

  1. Теорема Урсеску Оглавление1 Теорема Урсеску1.1 Определение и свойства выпуклых множеств1.2 Теорема о выпуклых множествах1.3 Теорема о пересечении выпуклых...
  2. Опорная гиперплоскость Оглавление1 Поддерживающая гиперплоскость1.1 Определение опорной гиперплоскости1.2 Теорема о гиперплоскости1.3 Связь с разделяющей гиперплоскостью1.4 Доказательство обратного утверждения2...
  3. Гиперплоскость Гиперплоскость Гиперплоскость – обобщение двумерной плоскости в трехмерном пространстве на произвольные размерности.  Гиперплоскость является плоской гиперповерхностью,...
  4. Теорема Лефшеца о гиперплоскости Оглавление1 Теорема о гиперплоскости Лефшеца1.1 Теорема Лефшеца о гиперплоскостях1.2 Доказательства Лефшеца1.3 Доказательства Андреотти и Франкеля1.4 Доказательства...
  5. Теорема Лефшеца о гиперплоскости Оглавление1 Теорема о гиперплоскости Лефшеца1.1 Теорема Лефшеца о гиперплоскостях1.2 История и значение теоремы1.3 Доказательства теоремы1.4 Жесткая...
  6. Теорема о сэндвиче с ветчиной Оглавление1 Теорема о бутерброде с ветчиной1.1 Теорема сэндвича с ветчиной1.2 История и названия1.3 Двумерный вариант1.4 n-мерный...
  7. Расположение гиперплоскостей Оглавление1 Расположение гиперплоскостей1.1 Основы теории расположения1.2 Вариации и расширения1.3 Технические аспекты1.4 Рекомендации и форматирование2 Расположение гиперплоскостей...
  8. Теорема Атьи–Зингера об индексе Оглавление1 Теорема об индексе Атии–Сингера1.1 Теорема об индексе Атии–Сингера1.2 История1.3 Символ дифференциального оператора1.4 Аналитический индекс1.5 Топологический...
  9. Ярмарка Оглавление1 Справедливое разделение1.1 Определение и важность задачи о справедливом разделении1.2 История и развитие задачи1.3 Критерии справедливости1.4...
  10. Теорема Бертини Теорема Бертини Теорема Бертини касается гладких связных гиперплоскостных сечений для гладких проективных многообразий над алгебраически замкнутыми...
  11. Простое число Оглавление1 Простое число1.1 Определение простых чисел1.2 История и развитие1.3 Методы проверки простоты1.4 Применение простых чисел1.5 Современные...
  12. Теорема о четырех цветах Оглавление1 Теорема о четырех цветах1.1 Теорема о четырех цветах1.2 История доказательства1.3 Доказательство с помощью компьютера1.4 Формулировка...
  13. Теорема о четырех цветах Оглавление1 Теорема о четырех цветах1.1 Теорема о четырех цветах1.2 История доказательства1.3 Доказательство с помощью компьютера1.4 Формулировка...
  14. Теоремы Силова Оглавление1 Теоремы Силова1.1 Теоремы Силова1.2 Определение силовских подгрупп1.3 Теорема Лагранжа1.4 Теорема Силова (1)1.5 Теорема Коши1.6 Теорема...
  15. Скольжение отражения Оглавление1 Отражение скольжения1.1 Определение и свойства скользящего отражения1.2 Симметрия и группы симметрии1.3 Примеры и применение2 Скольжение...
  16. Теорема Радона–Никодима Оглавление1 Теорема Радона–Никодима1.1 Определение и свойства меры Радона-Никодима1.2 Теорема Радона-Никодима и ее следствия1.3 Доказательство для конечных...
  17. Теорема Столлингса о концах групп Оглавление1 Теорема Столлингса о концах групп1.1 Теорема Столлингса о концах групп1.2 Концы графиков1.3 Концы групп1.4 Теоремы...
  18. Теорема Рамсея Оглавление1 Теорема Рамсея1.1 Теорема Рэмси1.2 Расширение на несколько цветов1.3 Примеры1.4 Доказательство для двух цветов1.5 Доказательство для...
  19. Гильбертово пространство – Arc.Ask3.Ru Оглавление1 Гильбертово пространство1.1 Определение гильбертовых пространств1.2 История и применение1.3 Примеры и свойства1.4 Внутреннее произведение и норма1.5...
  20. дерево кд Оглавление1 Дерево K-d1.1 Описание k-d деревьев1.2 Построение k-d деревьев1.3 Добавление элементов1.4 Удаление элементов1.5 Балансировка k-d деревьев1.6...
  21. Групповое действие Оглавление1 Group action1.1 Основные понятия теории групп1.2 Свойства действий групп1.3 Примеры действий групп1.4 Топологические свойства действий...
  22. Сепарабельное расширение Оглавление1 Отделяемый удлинитель1.1 Разделяемые и неотделимые расширения1.2 Фундаментальная теорема теории Галуа1.3 Чисто неотделимые расширения1.4 Неформальная дискуссия...

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх