Теорема Столлингса о концах групп
-
Теорема Столлингса о концах групп
- Конечно порожденная группа G имеет более одного конца тогда и только тогда, когда она допускает нетривиальное разложение в виде объединенного свободного произведения или расширения HNN над конечной подгруппой.
- На языке теории Басса–Серра это означает, что G допускает нетривиальное действие на симплициальное дерево с конечными стабилизаторами ребер и без инверсий ребер.
-
Концы графиков
- Концы графа Γ определяются как концы его топологического пространства.
- Число концов графа Γ обозначается e(Γ) и может быть 0, 1, 2 или ∞.
- Если e(Γ) = 0, то Γ является конечным графом.
- Если e(Γ) = 2, то Γ является бесконечной циклической группой.
- Если e(Γ) = 1, то Γ является свободной абелевой группой второго ранга.
- Если e(Γ) = ∞, то для любого конечного множества F из ребер Γ существует конечное множество K из ребер Γ с F ⊆ K такое, что Γ — K имеет по крайней мере n бесконечных связанных компонент для любого n ≥ 0.
-
Концы групп
- Для конечно порожденной группы G число концов e(G) определяется как e(Γ(G, S)), где S — конечный порождающий набор из G.
- e(G) не зависит от выбора конечного порождающего набора S.
- Основные факты и примеры: e(G) = 0 тогда и только тогда, когда G конечна; e(Z) = 2; e(Z2) = 1; e(F(X)) = ∞.
-
Теоремы Фрейденталя-Хопфа
- Для любой конечно порожденной группы G e(G) ∈ {0, 1, 2, ∞}.
- e(G) = 2 тогда и только тогда, когда G является практически бесконечным циклическим.
- Чарльз Т. C. Уолл доказал, что G является практически бесконечным циклом тогда и только тогда, когда он имеет конечную нормальную подгруппу W такую, что G/W является либо бесконечно циклическим, либо бесконечно двугранным.
-
Разрезы и почти инвариантные множества
- Для подмножества A ⊆ G, δA — это краевая граница A в графе Кэли Γ(G, S).
- (A, A*) называется разрезом в Γ, если δA конечна.
- (A, A*) является существенным разрезом, если оба множества A и A* бесконечны.
- Подмножество A ⊆ G называется почти инвариантным, если для каждого g ∈ G симметричная разница между A и Ag конечна.
-
Разрезы и концы
- Если G = H∗K, где H и K — нетривиальные конечно порожденные группы, то граф Кэли из G имеет по крайней мере один существенный разрез и e(G) > 1.
- Если G = H∗CK, где C — конечная группа, то H и K конечно порождены и e(G) > 1.
- Если G = ⟨H, t|t−1C1t=C2⟩, где C1 и C2 — изоморфные конечные подгруппы H, то G конечно порождена и e(G) > 1.
-
Формальная формулировка теоремы Столлингса
- e(G) > 1 тогда и только тогда, когда G допускает расщепление G = H∗CK или является расширением HNN.
- На языке теории Басса–Серра: e(G) > 1 тогда и только тогда, когда G допускает нетривиальное действие на симплициальное дерево с конечными стабилизаторами ребер и без инверсий ребер.
-
Теорема Столлингса
- Теорема Столлингса утверждает, что конечно порожденная группа без кручения допускает свободное разложение тогда и только тогда, когда она допускает надлежащее свободное разложение продукта.
- Теорема подразумевает, что свойство нетривиального расщепления над конечной подгруппой является квазиизометрическим инвариантом.
-
Приложения и обобщения
- Теорема Столлингса доказала, что каждая конечно порожденная группа когомологической размерности один свободна и что каждая практически свободная группа без кручения свободна.
- Теорема стала отправной точкой для теории доступности Данвуди, где группа считается доступной, если процесс итерационного нетривиального разбиения над конечными подгруппами всегда выполняется конечное число шагов.
- Линнелл показал, что если ограничить размер конечных подгрупп, то каждая конечно порожденная группа доступна.
-
Относительные версии теоремы Столлингса
- Для подгруппы H из конечно порожденной группы G определяется количество относительных концов e(G,H) как число концов относительного графа Кэли из G в отношении H.
- Случай, когда e(G,H)>1, называется полурасщеплением G над H.
- Ранние работы по полурасщеплениям были выполнены Скоттом, Сварупом и другими.
- Работа Сагеева и Герасимова показала, что полурасщепление соответствует существенному изометрическому воздействию на CAT(0)-кубирование.
-
Новые доказательства теоремы Столлингса
- Данвуди привел доказательство, основанное на идеях разрезов по краям.
- Нибло получил доказательство как следствие относительной версии Сагеева CAT(0)-cubing.
- Громов изложил доказательство, где аргумент о минимальных поверхностях заменен гармоническим анализом.
- Капович продвинул этот подход, чтобы охватить исходный случай конечно порожденных групп.