Оглавление
Теория Флоке
-
Теория Флоке
- Раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений
- Рассматривает решения периодических линейных дифференциальных уравнений
- Основная теорема Флоке дает каноническую форму для фундаментальных матричных решений
-
Основные понятия
- Фундаментальное матричное решение: столбцы образуют основу набора решений
- Главное фундаментальное матричное решение: все столбцы линейно независимы и существует t0, где Φ(t0) — личность
- Решение линейного дифференциального уравнения: x(t) = ϕ(t)ϕ-1(0)x0, где ϕ(t) — фундаментальное матричное решение
-
Теорема Флоке
- Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с периодической матрицей A(t)
- Фундаментальное матричное решение ϕ(t) имеет нормальную форму ϕ(t) = Q(t)e^tR
- Q(t) — периодическая матричная функция, R — реальная матрица
-
Последствия и применение
- Изменение координат y = Q-1(t)x приводит к линейной системе с постоянными коэффициентами y˙ = Ry
- Устойчивость нулевого решения определяется собственными значениями R
- Показатели Флоке — характеристические множители системы, действительные части — показатели Ляпунова
-
Примеры применения
- Устойчивость дифференциального уравнения Хилла
- Описание размягчения и упрочнения соединений в лазерных полях
- Исследование динамики сильно управляемых квантовых систем
- Применение в сверхпроводящих схемах для квантовой электродинамики