Оглавление

Теория представлений конечных групп

Теория представлений групп
- Изучает, как группы воздействуют на заданные структуры
- Основное внимание уделяется операциям групп с векторными пространствами
- Рассматриваются также группы, действующие на другие группы или на съемочные площадки
Линейные представления
- Линейное представление группы G — это групповой гомоморфизм ρ: G → GL(V)
- Векторное пространство V называется пространством представления G
- Степень репрезентации — это размерность пространства V
Примеры линейных представлений
- Тривиальное представление: ρ(s) = id для всех s ∈ G
- Представление степени 1: ρ: G → GL(C) = C×
- Представление степени 2: ρ: G → GL(C) ≅ GL(C)
Представление перестановок
- Группа G действует на конечном множестве X через Aut(X)
- Линейное представление ρ: G → GL(V) определяется ρ(s)e_x = e_s.x для всех s ∈ G, x ∈ X
Регулярные представления
- Левостороннее регулярное представление: ρ(s)e_t = e_st для всех s, t ∈ G
- Правостороннее регулярное представление: ρ(s)e_t = e_ts−1 для всех s, t ∈ G
- Оба представления изоморфны через e_s ↦ e_s−1
Представления, модули и алгебра свертки
- Групповая алгебра K[G] свободна и базис может быть проиндексирован элементами G
- Линейное представление ρ: G → GL(V) наделяет V структурой левого K[G]-модуля
- V также может быть наделен структурой правого K[G]-модуля
Алгебра свертки и групповая алгебра
- Алгебра свертки L1(G) изоморфна C[G] как алгебры.
- Алгебра свертки свободна и имеет базис, индексируемый элементами группы.
- Алгебра свертки и групповая алгебра изоморфны как алгебры.
Инволюция и унитарные представления
- Инволюция в L1(G) соответствует умножению в C[G].
- Унитарные представления удовлетворяют условию π(f)∗ = π(f∗).
- Каждое линейное представление можно считать унитарным.
Преобразование Фурье
- Преобразование Фурье для группы G определяется через алгебру свертки.
- Преобразование удовлетворяет условию f∗g^ = f^⋅g^.
Сопоставления между представлениями
- Отображение между представлениями (ρ, Vρ) и (τ, Vτ) называется G-линейным или эквивариантным.
- Композиция эквивариантных отображений снова является эквивариантным отображением.
Неприводимые представления и лемма Шура
- Неприводимые представления имеют только два подпредставления: 0 и само V.
- Лемма Шура накладывает ограничение на отображения между неприводимыми представлениями.
Свойства представлений
- Два представления (ρ, Vρ) и (π, Vπ) называются эквивалентными, если существует G-линейный изоморфизм между их пространствами.
- Представление (π, Vπ) называется верным, если π инъективно.
- Число неприводимых представлений группы G равно числу классов сопряженности G.
- Представление называется полупростым, если оно является прямой суммой неприводимых представлений.
- Представление называется изотипическим, если оно является прямой суммой попарно изоморфных неприводимых представлений.
Изотип и унитарные представления
- Изотип Vρ(τ) определяется как сумма всех неприводимых подпредставлений V, изоморфных τ.
- Унитарное представление ρ: G → GL(V) является унитарным, если ρ(s) является единичным для каждого s ∈ G.
- Внутреннее произведение инвариантно по отношению к индуцированной операции G, если (v|u) = (ρ(s)v|ρ(s)u) для всех v, u ∈ Vρ, s ∈ G.
Пример с D6
- D6 = {идентификатор, μ, μ2, ν, μν, μ2ν} — двугранная группа порядка 6.
- ρ: D6 → GL(3, C) — линейное представление, определяемое на генераторах.
- Подпространство C2 является D6-инвариантным, что приводит к подпредставлению ρ|C2: D6 → C×.
- Подпространство C1 ⊕ C3 также является D6-инвариантным, что дает подпредставление ρ|C1 ⊕ C3.
- Оба подпредставления являются изотипическими и единственными ненулевыми изотипами ρ.
- ρ является унитарным по отношению к стандартному внутреннему продукту на C3.
Двойственное представление
- Двойственное представление ρ∗: G → GL(V∗) определяется как представление G в дуальном векторном пространстве V.
- Естественное спаривание между V∗ и V дает уравнение для определения ρ∗.
Прямая сумма представлений
- Прямая сумма представлений ρ1 и ρ2: G → GL(V1 ⊕ V2) определяется как представление G.
- Пример: прямая сумма представлений i и ω.
Тензорное произведение представлений
- Внешнее тензорное произведение представлений ρ1 и ρ2: G1 × G2 → GL(V1 ⊗ V2) определяется как ρ1(s1) ⊗ ρ2(s2) для s1 ∈ G1, s2 ∈ G2.
- Пример: тензорное произведение представлений i и ω.
Различие между прямой суммой и тензорным произведением
- Прямая сумма и тензорное произведение имеют разную степень и являются разными представлениями.
- Внешнее тензорное произведение определяет представление G в тензорном произведении V1 ⊗ V2.
- Тензорное произведение определяет представление G в тензорном произведении двух пространств представлений.
Симметричный и чередующийся квадрат
- Симметричный и чередующийся квадрат определяются как подпредставления V⊗V.
- Симметричный квадрат: V⊗V = Символ2(V) ⊕ Высокий звук2(V).
- Чередующийся квадрат: V⊗V = Высокий звук2(V) ⊕ Символ2(V).
Разложения представлений
- Разложение представлений на прямую сумму подпредставлений облегчает понимание.
- Для конечных групп разложение возможно, но не уникально.
- Каноническая декомпозиция объединяет изоморфные неприводимые подпредставления.
Проекционная формула
- Проекция pj: V → V(τj) задается формулой, где nj = dim(τj), g = ord(G), χτj — символ τj.
- Проекция позволяет определить изотип тривиального подпредставления.
Пример с группой перестановок
- Представление ρ: По(3) → GL5(C) разлагается на левостороннее регулярное представление π и представление η.
- η и τ изоморфны, что приводит к каноническому разложению ρ = τ ⊕ η ⊕ 1.
Теория характера
- Характер представления ρ: G → GL(V) определяется как карта, не являющаяся групповым гомоморфизмом.
- Символы перестановочных представлений легко вычислить.
- Важнейшее свойство символов — формула, связывающая их с классом сопряженности.
- Символы связаны с собственными значениями представления и его размерностью.
- Символы порождают символы связанных представлений.
Символы и функции класса
- Символы являются функциями класса, так как след матрицы сохраняется при сопряжении.
- Набор всех функций класса образует C-алгебру, обозначаемую Cкласс(G).
- Размерность Cкласс(G) равна числу классов сопряженности G.
Ортонормированное свойство
- Неприводимые символы образуют ортонормированный базис для Cкласс(G).
- Каждая функция класса может быть выражена как линейная комбинация неприводимых символов.
- Число неизоморфных неприводимых представлений равно числу классов сопряженности G.
Внутренний продукт и L1(G)
- Внутренний продукт может быть определен на множестве всех функций класса.
- Симметричная билинейная форма может быть определена на L1(G).
- Эти формы совпадают по набору символов.
Критерий несводимости
- Критерий несводимости: (χ|χ) ∈ N0 тогда и только тогда, когда V неприводимо.
- Характеры неприводимых представлений образуют ортонормированное множество на Cкласс(G).
Классификация неприводимых представлений
- C[G] ≅ ⊕j Конец(Wj) как алгебры.
- Формула обращения Фурье и формула Планшереля описывают неприводимые представления.
Индуцированное представление
- Индуцированное представление позволяет получить представление группы из представления подгруппы.
- Индуцированное представление не является обратной конструкцией, а примыкает к ограничению.
Индуцированные представления
- Индуцированное представление от G к H обозначается как Ind(θ).
- Пространство представления часто используется вместо карты представления.
- Альтернативное описание индуцированного представления через групповую алгебру.
Свойства индуцированных представлений
- Индуцированные представления сохраняют свойства гомоморфизмов.
- Индукция по классовым функциям аналогична индукции по представлениям.
Взаимность Фробениуса
- Карты Res и Ind примыкают друг к другу.
- Неприводимые представления индуцируются так же часто, как и индуцируются.
Критерий несводимости Макки
- Два представления называются непересекающимися, если они не имеют общей неприводимой составляющей.
- Для нормальных подгрупп существуют соответствующие подгруппы и неприводимые представления.
Приложения для специальных групп
- Для абелевых подгрупп существуют изотипические модули.
- Для полупрямых произведений неприводимые представления классифицируются методом “маленьких групп”.
Классификация представлений полупрямого произведения
- Неприводимые характеры A образуют группу X.
- Группа G действует на X, и для каждого j ∈ X/H существует подгруппа Hj.
- Неприводимые представления G могут быть классифицированы через тензорное произведение характеров и представлений Hj.
Кольцо представления
- Репрезентативное кольцо из G определяется как абелева группа.
Виртуальные представления и символы
- Виртуальные представления определяются как элементы кольца R(G), где G — группа.
- Символы определяют кольцевой гомоморфизм в множестве функций класса на G.
- Символы образуют ортонормированный базис в C класс.
Изоморфизм и подкольца
- Изоморфизм определяется на основе элементарных тензоров.
- R(G) = Zχ1 ⊕ … ⊕ Zχm, где χj — неприводимые символы.
- R(G) является подкольцом кольца C класс(G).
Ограничение и индукция
- Ограничение определяет гомоморфизм Res: R(G) → R(H).
- Индукция определяет гомоморфизм Ind: R(H) → R(G).
- Эти гомоморфизмы сопряжены и их изображения являются идеалами.
Прямое произведение групп
- Прямое произведение групп G1 и G2 определяется как G1 × G2.
- Неприводимые представления G1 × G2 являются тензорным произведением неприводимых представлений G1 и G2.
Теоремы индукции
- Теорема индукции Артина утверждает, что ядро системы φ конечно, если G является объединением сопряженных подгрупп.
- Теорема Брауэра утверждает, что φ сюръективна для семейства всех элементарных подгрупп.
Реальные представления
- Реальные представления определяются как представления в комплексном векторном пространстве V = V0 ⊗ R C.
- Характер реального представления всегда вещественнозначный.
Представление SU(2)
- След любой матрицы в SU(2) является вещественным, что делает представление вещественнозначным.
- Группа окружностей является абелевой, но SU(2) не является.
- Существует неабелева конечная подгруппа SU(2), например, {±1, ±i, ±j, ±ij}.
Неприводимые представления
- Неприводимое представление на реальном векторном пространстве может стать сводимым при расширении поля до C.
- Классификация неприводимых представлений на C не дает полной классификации на R.
Кватернионные представления
- Кватернионное представление — это представление с G-инвариантным антилинейным гомоморфизмом J, удовлетворяющим J^2 = -Id.
- Кососимметричный невырожденный G-инвариантный билинейный форма определяет кватернионную структуру на V.
Представления симметричных групп
- Представления симметричных групп Sn соответствуют разбиениям n.
- Неприводимые представления S3 соответствуют разбиениям из 3.
- Представления различных симметричных групп взаимосвязаны.
Представления конечных групп типа Ли
- Представления GLn(Fq) имеют тот же вкус, что и для Sn, но требуют каспидальных представлений.
- Представления конечных групп типа Ли изучены, включая SL2(Fq).
- Геометрическое описание неприводимых представлений получено с помощью теории Делиня-Люстига.
Представления компактных групп
- Теория представлений компактных групп важна для гармонического анализа и автоморфных форм.
- Линейное представление компактной группы в гильбертовом пространстве — это непрерывный групповой гомоморфизм.
- Мера Хаара для компактной группы уникальна и инвариантна к левому и правому перемещению.
- Представления компактных групп эквивалентны, если существует биективный непрерывный линейный оператор между пространствами представления.
- Каждое представление в гильбертовом пространстве является унитарным.
- Левостороннее и правильное регулярные представления определяются на L2(G) и являются унитарными представлениями.
Регулярные представления на L2(G)
- Регулярное представление задается как RsΦ(t) = Φ(ts).
- Правильное регулярное представление является унитарным и задается s ↦ Rs.
- Эти представления двойственны друг другу.
- Если G бесконечно, эти представления не имеют конечной степени.
Конструкции и декомпозиции
- Прямая сумма и тензорное произведение определяются аналогично конечным группам.
- Мера Хаара для прямого произведения компактных групп определяется как произведение мер Хаара для групп факторов.
- Двойственное представление на компактных группах требует топологического двойственного V’.
Разложение по сечениям
- Каждое представление компактной группы изоморфно прямой гильбертовой сумме неприводимых представлений.
- Изотипы неэквивалентных неприводимых представлений попарно ортогональны.
- Проекция на каноническую декомпозицию задается формулой, где nτ = dim(V(τ)).
Символы, лемма Шура и внутреннее произведение
- Символы неприводимых представлений компактных групп определяются аналогично конечным группам.
- Лемма Шура справедлива для компактных групп.
- Внутреннее произведение и билинейная форма определяются аналогично конечным группам.
Индуцированное представление
- Индуцированное представление определяется как непрерывное представление замкнутой подгруппы H в G.
- Индуцированное представление разлагается на прямую сумму неприводимых представлений G.
Теорема Питера-Вейля
- Теорема Питера-Вейля обобщает ряды Фурье для функций на компактных группах.
История теории представлений
- Общие черты теории представлений конечной группы G над комплексными числами были открыты Фердинандом Георгом Фробениусом до 1900 года.
- Позже была разработана теория модульного представления Ричардом Брауэром.
Основные понятия
- Теория характера
- Реальное представление
- Соотношения ортогональности Шура
- Гипотеза Маккея
- Кольцо с обратной стороны
Литература
- Фултон, Уильям; Харрис, Джо: Теория представлений – Первый курс. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1991, ISBN 0-387-97527-6.
- Альперин Дж.Л.; Белл, Роуэн Б.: Группы и представления Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1995, ISBN 0-387-94525-3.
- Дейтмар, Антон: Автоморфизм для немецкого спрингера-Verlag 2010, ISBN 978-3-642-12389-4, стр. 89-93,185-189.
- Эхтерхофф, Зигфрид; Дейтмар, Антон: Принципы гармонического анализа Springer-Verlag 2009, ISBN 978-0-387-85468-7, стр. 127-150.
- Лэнг, Серж: Алгебра Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2002, ISBN 0-387-95385-X, стр. 663-729.

Полный текст статьи:

Теория представлений конечных групп

Теория представлений конечных групп

Теория представлений конечных групп

Теория представлений групп

Линейные представления

Примеры линейных представлений

Представление перестановок

Регулярные представления

Представления, модули и алгебра свертки

Алгебра свертки и групповая алгебра

Инволюция и унитарные представления

Преобразование Фурье

Сопоставления между представлениями

Неприводимые представления и лемма Шура

Свойства представлений

Изотип и унитарные представления

Пример с D6

Двойственное представление

Прямая сумма представлений

Тензорное произведение представлений

Различие между прямой суммой и тензорным произведением

Симметричный и чередующийся квадрат

Разложения представлений

Проекционная формула

Пример с группой перестановок

Теория характера

Символы и функции класса

Ортонормированное свойство

Внутренний продукт и L1(G)

Критерий несводимости

Классификация неприводимых представлений

Индуцированное представление

Индуцированные представления

Свойства индуцированных представлений

Взаимность Фробениуса

Критерий несводимости Макки

Приложения для специальных групп

Классификация представлений полупрямого произведения

Кольцо представления

Виртуальные представления и символы

Изоморфизм и подкольца

Ограничение и индукция

Прямое произведение групп

Теоремы индукции

Реальные представления

Представление SU(2)

Неприводимые представления

Кватернионные представления

Представления симметричных групп

Представления конечных групп типа Ли

Представления компактных групп

Регулярные представления на L2(G)

Конструкции и декомпозиции

Разложение по сечениям

Символы, лемма Шура и внутреннее произведение

Индуцированное представление

Теорема Питера-Вейля

История теории представлений

Основные понятия

Литература

Полный текст статьи:

Теория представлений конечных групп

Похожие статьи:

Оставьте комментарий Отменить ответ