Оглавление
- 1 Теория представлений полупростых алгебр Ли
- 1.1 Теория представлений полупростых алгебр Ли
- 1.2 Классификация конечномерных представлений
- 1.3 Первый шаг: анализ гипотетических представлений
- 1.4 Второй шаг: построение представлений
- 1.5 Пример: sl(2,C)
- 1.6 Классификация представлений sl(2,C)
- 1.7 Классификация представлений sl(3,C)
- 1.8 Классификация представлений полупростой алгебры Ли
- 1.9 Построение представлений с использованием модулей Verma
- 1.10 Классификация представлений
- 1.11 Группы Ли и унитарный трюк Вейля
- 1.12 Алгебраический аргумент полной приводимости
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Теория представлений полупростых алгебр Ли
Теория представлений полупростых алгебр Ли
-
Теория представлений полупростых алгебр Ли
- Разработана Э. Картан и Х. Вейлем
- Дает структурное описание и классификацию конечномерных представлений полупростых алгебр Ли
- Включает теорему наибольшего веса
-
Классификация конечномерных представлений
- Состоит из двух этапов: анализ гипотетических представлений и их реализация
- Реальная алгебра Ли усложняется для анализа в алгебраически замкнутом поле
- Комплексная полупростая алгебра Ли обладает свойством полной приводимости
-
Первый шаг: анализ гипотетических представлений
- Выдвижение гипотезы о существовании неприводимых представлений
- Исследование свойств гипотетических представлений и установление условий их существования
- Определение весов представлений и их частичного порядка
- Понятия доминирующего элемента и интегрального элемента
- Доказательство, что наибольший вес является доминирующим и целостным
-
Второй шаг: построение представлений
- Фиксация доминирующего интегрального элемента и построение неприводимого представления с наибольшим весом
- Стандартные способы построения: модули Verma, теорема Питера–Вейля, теорема Бореля–Вейля, декомпозиция Клебша–Гордана
- В простых случаях возможно построение с нуля
-
Пример: sl(2,C)
- Алгебра Ли sl(2,C) состоит из нулевых матриц 2×2 с комплексными элементами
- Каждое конечномерное представление разлагается как прямая сумма неприводимых представлений
- Неприводимые представления классифицируются по наибольшему собственному значению
-
Классификация представлений sl(2,C)
- Неприводимое представление с наибольшим собственным значением m имеет размерность m+1.
- Операторы π(X) и π(Y) перемещаются вверх и вниз по цепочке собственных векторов.
- Можно реализовать представление с наибольшим весом m, используя пространство однородных многочленов степени m.
-
Классификация представлений sl(3,C)
- Алгебра Ли sl(3,C) является восьмимерной.
- Неприводимые представления классифицируются по наибольшим собственным значениям m1 и m2 от π(H1) и π(H2).
- Представление sl(3,C) не может быть описано явно, требуется аргумент для доказательства.
-
Классификация представлений полупростой алгебры Ли
- Каждое неприводимое конечномерное представление имеет наибольший вес, который является доминирующим и интегральным.
- Два неприводимых конечномерных представления с одинаковым наибольшим весом изоморфны.
- Каждый доминирующий интегральный элемент возникает как наивысший вес некоторого неприводимого конечномерного представления.
-
Построение представлений с использованием модулей Verma
- Можно построить бесконечномерное представление Wλ с наибольшим весом λ.
- Частное представление Vλ неприводимо и имеет наибольший вес λ.
- Если λ является доминирующим и целостным, Vλ конечномерно.
- Стратегия доказательства конечномерности Vλ состоит в доказательстве инвариантности весов Vλ относительно действия группы Вейля.
-
Классификация представлений
- Каждое конечномерное представление сложной полупростой алгебры Ли g разлагается как прямая сумма неприводимых представлений.
- Существует символьная формула Вейля, формула размерности Вейля и формула кратности Костанта.
- Существует также формула для собственного значения элемента Казимира.
-
Группы Ли и унитарный трюк Вейля
- Каждая сложная полупростая алгебра Ли g имеет компактную реальную форму k.
- Существует односвязная компактная группа K, чья алгебра Ли равна k.
- Конечномерное представление V от g можно ограничить k и интегрировать в группу K.
- Метод усреднения по группе показывает, что действие K на V является унитарным.
- Унитарность позволяет увидеть, что V разлагается как прямая сумма неприводимых представлений.
-
Алгебраический аргумент полной приводимости
- Существует уникальная комплексная полупростая группа Ли G с алгеброй Ли g.
- В случае g = sl(n; C) G = SL(n; C).
- Объекты в списке находятся во взаимно однозначном соответствии: гладкие представления K, голоморфные представления G, реальные линейные представления k, сложные линейные представления g.