Испытание Коши на конденсацию
- Тест Коши на сгущение является стандартным тестом на сходимость бесконечных рядов.
- Для нерастущей последовательности f(n) из неотрицательных действительных чисел, ряд ∑n=1∞f(n) сходится тогда и только тогда, когда “сжатый” ряд ∑n=0∞2nf(2n) сходится.
- Оценивать тест Коши на конденсацию следует из более строгой оценки.
- Интегральное сравнение и замена x→2x напоминают о замене интегральной переменной x→e^x при приведении f(x)dx→e^xf(e^x)dx.
- Развивая эту идею, интегральный тест на сходимость дает нам в случае монотонного f, что ∑n=1∞f(n) сходится тогда и только тогда, когда ∫1∞f(x)dx сходится.
- Замена x→2x дает интеграл бревно 2∫2∞2xf(2x)dx.
- Затем мы замечаем, что бревно 2∫2∞2xf(2x)dx < бревно 2∫0∞2xf(2x)dx, где правая часть получена в результате применения интегрального критерия к сжатому ряду ∑n=0∞2nf(2n).
Полный текст статьи: