Топологический гомоморфизм
-
Определение топологического гомоморфизма
- Топологический гомоморфизм — это непрерывное линейное отображение между топологическими векторными пространствами (TVSS).
- Индуцированное отображение должно быть открытым, когда образ отображения является подпространством, индуцированным топологией Y.
-
Характеристики топологических гомоморфизмов
- Топологический гомоморфизм эквивалентен тому, что для каждой базы окрестностей в X, образ отображения является базой окрестностей в Y.
- Индуцированная карта должна быть изоморфизмом TVSs.
- Если диапазон отображения является конечномерным хаусдорфовым пространством, то отображение должно быть непрерывным и непрерывным в начале координат.
-
Достаточные условия для топологических гомоморфизмов
- Теорема: если отображение сюръективно и является непрерывным линейным отображением из LF-пространства в TVSS, то оно является топологическим гомоморфизмом.
- Теорема: если ограничение отображения на плотное векторное подпространство является топологическим гомоморфизмом, то само отображение является топологическим гомоморфизмом.
-
Теорема об открытом отображении
- Теорема об открытом отображении дает достаточное условие для топологического гомоморфизма между полными метризуемыми TVSS.
- Если образ отображения является плотным подмножеством Y, то либо он скуден, либо отображение является сюръективным топологическим гомоморфизмом.
-
Примеры топологических гомоморфизмов
- Каждый непрерывный линейный функционал на TVS является топологическим гомоморфизмом.
- Если X — 1-мерное TVS над полем K и x ∈ X ненулевой, то отображение L(s) := sx является TVS-изоморфизмом.