Подгруппа кручения

• Определение и свойства подгруппы кручения

  • Подгруппа кручения AT абелевой группы A состоит из элементов с конечным порядком. 
  • Группа A называется группой кручения, если каждый элемент имеет конечный порядок, и свободной от кручения, если все элементы, кроме тождества, имеют бесконечный порядок. 
  • Подгруппа кручения является полностью характеристической и факторгруппа A/T не имеет кручения. 

• Ковариантные функторы

  • Существует функтор, отправляющий каждую группу в ее подгруппу кручения и каждый гомоморфизм в его ограничение на подгруппу кручения. 
  • Существует функтор, отправляющий группу в ее частное по подгруппе кручения и каждый гомоморфизм в индуцированный гомоморфизм. 

• Классификация конечно порожденных абелевых групп

  • Если A конечно порождена, то она может быть записана как прямая сумма подгруппы кручения и подгруппы без кручения. 
  • Разложение A как прямая сумма подгруппы кручения и подгруппы без кручения определяет равенство T = Tp для всех простых чисел p. 
  • Изучение p-торсионных групп позволяет получить информацию о всех торсионных группах. 

• Примеры и дальнейшие результаты

  • Подмножество кручения в неабелевой группе не всегда является подгруппой. 
  • В нильпотентной группе торсионные элементы образуют нормальную подгруппу. 
  • Каждая конечная абелева группа является группой кручения, но не каждая группа кручения конечна. 
  • Размер свободной от кручения части абелевой группы определяется однозначно. 
  • Абелева группа свободна от кручения тогда и только тогда, когда она является плоской как Z-модуль. 
  • Тензорирование абелевой группы с помощью Q устраняет кручение. 

• Дополнительные сведения

  • Кручение превращает абелевы группы в корефлексивную подкатегорию, а группы без кручения — в рефлексивную подкатегорию.