Оглавление [Скрыть]
- 1 Witt vector
- 1.1 Определение и структура Witt векторов
- 1.2 История и мотивация
- 1.3 Witt векторы и их применение
- 1.4 Мотивация и развитие
- 1.5 Определение кольца p-адических целых чисел
- 1.6 Представление элементов в Fp как элементов в кольце W(Fp)
- 1.7 Определение операций в кольце W(Fp)
- 1.8 Дополнительные свойства элементов в кольце W(Fp)
- 1.9 Конструкция колец Witt
- 1.10 Многочлены Витта
- 1.11 Примеры сложения и умножения
- 1.12 Примеры колец Витта
- 1.13 Универсальные векторы Витта
- 1.14 Генерирующие функции
- 1.15 Кольцевые схемы
- 1.16 Коммутативные унипотентные алгебраические группы
- 1.17 Универсальное свойство
- 1.18 Понятие δ-кольца
- 1.19 Функтор U
- 1.20 Функтор W
- 1.21 Дополнительные ресурсы
- 1.22 Рекомендации
- 1.23 Полный текст статьи:
- 2 Вектор Витта
Witt vector
-
Определение и структура Witt векторов
- Witt вектор — бесконечная последовательность элементов коммутативного кольца.
- Эрнст Витт показал, что кольцо Witt векторов над конечным полем Fp изоморфно Zp, кольцу p-адических целых чисел.
- Witt векторы имеют неинтуитивную структуру, так как их аддитивная и мультипликативная структура зависит от бесконечного набора рекурсивных формул.
-
История и мотивация
- В 19 веке Эрнст Куммер изучал циклические расширения полей, что привело к теории Куммера.
- В случае, когда характеристика поля делится на степень расширения, теория Куммера неприменима.
- В 20 веке Артин и Шрайер исследовали расширения полей с характеристикой p, что привело к теории Артина-Шрайера.
- Абрахам Адриан Альберт обобщил теорию на расширения степени pn.
- Шмид обобщил теорию на некоммутативные циклические алгебры степени pn.
-
Witt векторы и их применение
- Витт ввел кольцо Wn(k), кольцо n-truncated p-типичных Witt векторов.
- Витт показал, что степень pn-расширений полей k соответствует циклическим подгруппам в Wn(k)/℘(Wn(k)).
- Витт использовал Witt векторы для описания степени pn-расширений и циклических алгебр.
-
Мотивация и развитие
- p-адические целые числа можно представить как степенные ряды.
- Hensel предложил использовать корни из единицы в качестве представителей.
- Teichmüller исследовал эти корни и ввел понятие Teichmüller представителей.
- Витт решил проблему описания суммы и произведения двух бесконечных последовательностей элементов ω(Fp×)∪{0} с помощью Witt векторов.
-
Определение кольца p-адических целых чисел
- Кольцо p-адических целых чисел можно понимать как обратный предел колец Z/p^iZ.
- Элементы кольца можно представить как формальные степенные ряды в p с коэффициентами из интервала [0, p-1].
-
Представление элементов в Fp как элементов в кольце W(Fp)
- Для представления элементов в Fp используются Тейхмюллеровы представители: нуль и (p-1)-е корни из единицы.
- Эти представители можно вычислить через метод Хенеля.
-
Определение операций в кольце W(Fp)
- Операции в кольце W(Fp) определяются через Тейхмюллеровы представители.
- Операции сложения и умножения определяются через полиномы с целыми коэффициентами.
-
Дополнительные свойства элементов в кольце W(Fp)
- Тейхмюллеровы коэффициенты обладают свойством ω(x¯i)p = ω(x¯i), что позволяет описывать сложение.
- Это свойство используется для определения сложения в кольце W(Fp).
-
Конструкция колец Witt
- Кольцо Witt векторов определяется как последовательность элементов кольца R.
- Определяются полиномы Wi, называемые призрачными компонентами.
- Кольцо W(R) определяется через компонентное сложение и умножение призрачных компонентов.
-
Многочлены Витта
- Первые несколько многочленов Витта могут быть записаны явно.
- Деление на p в формулах не имеет смысла, если p не является обратимым.
- Если p обратимо, формулы упрощаются.
-
Примеры сложения и умножения
- Единичный элемент в кольце векторов Витта — это элемент (1, 0, 0, …).
- Добавление этого элемента к самому себе дает нетривиальную последовательность.
- Умножение также ведет себя нетривиально.
-
Примеры колец Витта
- Кольцо Витта любого коммутативного кольца с обратимым p изоморфно R^N.
- Кольцо Витта Fp изоморфно Zp.
- Кольцо Витта Fq изоморфно OK.
-
Универсальные векторы Витта
- Многочлены Витта для разных простых чисел являются частными случаями универсальных многочленов Витта.
- Универсальные многочлены Витта могут быть использованы для формирования универсального кольца Витта.
-
Генерирующие функции
- Витт предложил другой подход с использованием генерирующих функций.
- Логарифмическая производная позволяет получить призрачные компоненты.
-
Кольцевые схемы
- Отображение от коммутативного кольца к кольцу векторов Витта является функтором и представимо.
- Схема Витта может быть отождествлена со спектром кольца симметричных функций.
-
Коммутативные унипотентные алгебраические группы
- Над алгебраически замкнутым полем с характеристикой 0 любая унипотентная абелева связная алгебраическая группа изоморфна произведению копий аддитивной группы Ga.
- Над алгебраически замкнутым полем характеристик p любая унипотентная абелева связная алгебраическая группа изогенна произведению усеченных групповых схем Витта.
-
Универсальное свойство
- Формирование векторов Витта является универсальным способом преобразования кольца характеристик p в кольцо характеристик 0.
- Это преобразование включает повышение эндоморфизма Фробениуса.
-
Понятие δ-кольца
- δ-кольцо заменяет подъемник Фробениуса в корпусе без кручения
- Коллекция δ-колец и их гомоморфизмов образует категорию CRδ
-
Функтор U
- Функтор U: CRδ → CR создает пределы и коллимиты
- U допускает левое сопряжение как тип свободного функтора
- CRδ наследует местную презентабельность от CR
-
Функтор W
- W является полностью точным функтором для полной подкатегории совершенных колец характеристики p
- Сущностный образ W состоит из δ-колец, которые являются идеальными и p-адически полными
-
Дополнительные ресурсы
- p-вывод
- Официальная группа
- Экспоненциальный коэффициент Артина–Хассе
- Ожерелье-кольцо
-
Рекомендации
- Вступительный
- Заметки о векторах Витта: мотивированный подход
- Теория векторов Витта
- Комплекс де Рама-Витта и кристаллических когомологий