Векторная оптимизация

• Основы векторной оптимизации

  • Векторная оптимизация — это математическая оптимизация с векторными целевыми функциями и частичным порядком. 
  • Задача многоцелевой оптимизации — частный случай векторной оптимизации с евклидовым пространством и частичным порядком «меньше или равно». 

• Формулировка задачи

  • Задача векторной оптимизации записывается как минимизация функции f:X→Z, где X — произвольное множество, а Z — векторное пространство с конусом C. 
  • Допустимое множество S⊆X определяет ограничения задачи. 

• Концепции решений

  • Слабо эффективная точка — это точка x¯∈S, для которой f(x)−f(x¯) не принадлежит конусу C. 
  • Эффективная точка — это точка x¯∈S, для которой f(x)−f(x¯) не принадлежит конусу C за вычетом нуля. 
  • Должным образом эффективная точка — это слабо эффективная точка относительно замкнутого выпуклого конуса C~, содержащего конус C за вычетом нуля. 

• Методы решения

  • Алгоритм Бенсона используется для решения задач линейной векторной оптимизации. 

• Отношение к многоцелевой оптимизации

  • Задача многоцелевой оптимизации может быть записана как минимизация функции f:X→R^d, где R+^d — неотрицательный ортант. 
  • Эффективные точки по Парето являются минимизаторами многоцелевой оптимизации.