Оглавление
- 1 Внутреннее пространство продукта
- 1.1 Определение и свойства внутреннего произведения
- 1.2 Примеры внутренних произведений
- 1.3 Расширение и неполные метрики
- 1.4 Внутренний продукт и его свойства
- 1.5 Внутреннее произведение для сложных матриц
- 1.6 Векторные пространства с формами
- 1.7 Реальные и сложные внутренние продукты
- 1.8 Примеры и различия
- 1.9 Сложный внутренний продукт
- 1.10 Ортонормированные последовательности
- 1.11 Теорема о существовании ортонормированного базиса
- 1.12 Доказательство отсутствия ортонормированного базиса
- 1.13 Тождество Парсеваля и ряды Фурье
- 1.14 Операторы на внутренних производственных площадях
- 1.15 Определение изометрии
- 1.16 Свойства изометрий
- 1.17 Изометрические изоморфизмы
- 1.18 Обобщения внутренних продуктов
- 1.19 Связанные понятия
- 1.20 Полный текст статьи:
- 2 Внутреннее пространство продукта
Внутреннее пространство продукта
-
Определение и свойства внутреннего произведения
- Внутреннее произведение — это скалярное произведение двух векторов в векторном пространстве.
- Внутреннее произведение удовлетворяет свойствам сопряженной симметрии, линейности в первом аргументе и положительной определенности.
- Внутреннее произведение на вещественном векторном пространстве является положительно определенной симметричной билинейной формой.
-
Примеры внутренних произведений
- Действительные и комплексные числа: арифметическое умножение и комплексное сопряжение.
- Евклидово векторное пространство: скалярное произведение декартовых координат.
- Сложное координатное пространство: эрмитова форма, заданная формулой y†Mx.
-
Расширение и неполные метрики
- Внутреннее произведение порождает норму, которая делает пространство нормированным.
- Если пространство внутреннего произведения является полным, оно называется гильбертовым пространством.
- Пространство C([a,b]) из непрерывных комплекснозначных функций является примером внутреннего произведения, индуцирующего неполную метрику.
-
Внутренний продукт и его свойства
- Внутренний продукт определяется как интеграл от произведения функций.
- Пространство, индуцированное внутренним продуктом, не является полным.
- Для случайных величин ожидаемая ценность их произведения является внутренним продуктом.
-
Внутреннее произведение для сложных матриц
- Внутреннее произведение для сложных квадратных матриц называется внутренним произведением Фробениуса.
- Внутреннее произведение Фробениуса положительно определено и эрмитово симметрично.
-
Векторные пространства с формами
- Внутреннее произведение определяет норму, называемую канонической нормой.
- Каждое внутреннее пространство продукта становится нормированным векторным пространством.
-
Реальные и сложные внутренние продукты
- Реальная часть внутреннего продукта равна 1/4(‖x+y‖2 − ‖x-y‖2).
- В комплексных векторных пространствах существует взаимно однозначное соответствие между комплексными и реальными внутренними продуктами.
-
Примеры и различия
- Реальные и сложные внутренние продукты имеют много общих свойств, но не являются полностью взаимозаменяемыми.
- Пример с вектором, повернутым на 90°, показывает, что обратное не всегда верно.
-
Сложный внутренний продукт
- Для сложного внутреннего продукта ⟨x, ix⟩ = -i‖x‖2.
- Для реального внутреннего продукта ⟨x, ix⟩R = 0.
- Если ⟨⋅, ⋅⟩ — сложный внутренний продукт и A: V → V — непрерывный линейный оператор, удовлетворяющий ⟨x, Ax⟩ = 0 для всех x ∈ V, то A = 0.
-
Ортонормированные последовательности
- Ортонормированный базис — это базис, в котором все элементы ортогональны и имеют единичную норму.
- В конечномерных внутренних пространствах произведения ортонормированный базис можно получить с помощью процесса Грама-Шмидта.
- В бесконечномерных внутренних пространствах произведения ортонормированный базис существует, если подпространство, генерируемое конечными линейными комбинациями элементов, плотно в V.
-
Теорема о существовании ортонормированного базиса
- Любое разделяемое внутреннее пространство продукта имеет ортонормированный базис.
- Любое полное внутреннее пространство продукта имеет ортонормированный базис.
-
Доказательство отсутствия ортонормированного базиса
- Доказательство основано на расширении ортонормированного базиса на основе Гамеля.
- Размерность континуума должна быть равна c, что противоречит размерности V.
-
Тождество Парсеваля и ряды Фурье
- Тождество Парсеваля приводит к изометрической линейной карте V → ℓ2 с плотным изображением.
- В теории рядов Фурье ортонормированный базис C[-π, π] состоит из непрерывных функций e^ikt/√2π.
-
Операторы на внутренних производственных площадях
- Непрерывные линейные карты: линейные и непрерывные по отношению к метрике внутреннего произведения.
- Симметричные линейные операторы: линейные и ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, Ay⟩ для всех x, y ∈ V.
- Изометрии: линейные и ⟨Ax, Ay⟩ = ⟨x, y⟩ для всех x, y ∈ V.
-
Определение изометрии
- Изометрия удовлетворяет условию ‖Ax‖ = ‖x‖ для всех x ∈ V.
- Линейная изометрия является линейной картой.
- Изометрия между внутренними пространствами продукта определяется через идентификатор поляризации.
-
Свойства изометрий
- Все изометрии инъективны.
- Теорема Мазура–Улама утверждает, что сюръективная изометрия является аффинным преобразованием.
- Изометрии между реальными внутренними пространствами продукта существуют тогда и только тогда, когда A(0) = 0.
-
Изометрические изоморфизмы
- Изометрические изоморфизмы являются сюръективными изометриями.
- Изометрические изоморфизмы также известны как унитарные операторы.
-
Обобщения внутренних продуктов
- Любая из аксиом внутреннего продукта может быть ослаблена.
- Вырожденные внутренние продукты возникают при полуопределенной полуторалинейной форме.
- Невырожденные сопряженные симметричные формы требуют инъективного отображения в двойственное пространство.
-
Связанные понятия
- Внутренний продукт противопоставляется внешнему продукту.
- Внутренний продукт отправляет два вектора в скаляр, внешний продукт отправляет два вектора в бивектор.
- В геометрической алгебре внутреннее произведение называется скалярным произведением.