Оглавление
Выпуклый конус
-
Определение конуса
- Конус — подмножество векторного пространства, замкнутое при положительном скалярном умножении.
- Конус не обязательно должен быть выпуклым.
- В упорядоченном поле конус — подмножество, замкнутое при умножении на положительный скаляр.
-
Выпуклый конус
- Выпуклый конус — конус, замкнутый при сложении.
- Выпуклые конусы — выпуклые множества.
- Выпуклый конус — частный случай линейного конуса.
-
Примеры конусов
- Пустое множество, пространство и линейные подпространства — выпуклые конусы.
- Коническая оболочка конечного или бесконечного набора векторов — выпуклый конус.
- Касательные конусы выпуклого множества — выпуклые конусы.
-
Особые примеры конусов
- Аффинные выпуклые конусы — результат аффинного преобразования выпуклого конуса.
- Полупространства — аффинные выпуклые конусы.
- Многогранные конусы — конусы, определяемые конечным числом векторов или полупространств.
-
Тупые, заостренные, плоские, выступающие и правильные конусы
- Выпуклый конус называется тупым, если 0 не находится в конусе.
- Тупые конусы можно исключить из определения выпуклого конуса.
-
Определение конуса
- Конус называется плоским, если содержит ненулевой вектор и его противоположность.
- Тупой выпуклый конус обязательно является заметным, но обратное не всегда верно.
- Выпуклый конус C является выпуклым тогда и только тогда, когда C ∈ −C ∈ {0}.
- Конус C генерирует, если C − C = {x − y | x ∈ C, y ∈ C} равно всему векторному пространству.
-
Типы конусов
- Заостренный конус не содержит полной линии.
- Правильный конус определяется по-разному в зависимости от контекста.
- Рациональные конусы важны в торической алгебраической геометрии и комбинаторной коммутативной алгебре.
-
Двойной конус
- Двойной конус в C – это множество, которое всегда является выпуклым конусом.
- В более общем плане, двойной конус C ∈ V является подмножеством двойного пространства V*.
- В конечных измерениях два понятия двойного конуса совпадают.
-
Конструкции
- Конус внешней нормали к множеству K в точке x задается формулой N_K(x).
- Касательный конус к множеству K в точке x задается формулой T_K(x).
- Нормальный и касательный конусы замкнуты и выпуклы.
-
Свойства
- Если C – непустой выпуклый конус, то линейный промежуток C равен C – C.
- Наибольшее векторное подпространство X, содержащееся в C, равно C ∩ (−C).
-
Частичный порядок
- Заостренный и выступающий выпуклый конус C индуцирует частичный порядок “≥” на V.
- Векторное пространство с таким порядком называется упорядоченным векторным пространством.
- Примеры включают порядок продуктов по вещественнозначным векторам и порядок Левнера на положительных полуопределенных матрицах.