Оглавление
- 1 Язык Арнольда
- 1.1 Языки Арнольда в математике
- 1.2 Примеры языков Арнольда
- 1.3 Математические модели
- 1.4 Свойства круговых карт
- 1.5 Блокировка режимов
- 1.6 Фиксация значений θn
- 1.7 Круговая карта и рациональные числа
- 1.8 Отображение окружности и устойчивость
- 1.9 Субгармонические пути к хаосу
- 1.10 Стандартная карта Чирикова
- 1.11 Приложения
- 1.12 Галерея и внешние ссылки
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Язык Арнольда
Язык Арнольда
-
Языки Арнольда в математике
- Языки Арнольда — это наглядное явление, возникающее при визуализации изменения числа оборотов динамической системы.
- Они образуются в областях с постоянным числом оборотов и напоминают язычки.
-
Примеры языков Арнольда
- Наблюдаются в биологических процессах, таких как концентрация ферментов и субстратов.
- Встречаются в электрических волнах сердца и других природных явлениях.
-
Математические модели
- Круговая карта — простейшая математическая модель, демонстрирующая блокировку режимов.
- Семейство круговых карт используется для моделирования биологических явлений.
-
Свойства круговых карт
- Монотонно возрастают при K < 1.
- Имеют периодические фиксированные точки периода n.
- Фазовая синхронизация происходит при n:M.
- Трансляционная симметрия: фазовая синхронизация сохраняется при изменении Ω на целое число.
- При K = 0 фазовая синхронизация происходит при рациональных значениях Ω.
-
Блокировка режимов
- При малых и промежуточных значениях K карта демонстрирует синхронизацию режимов.
- В областях с фазовой синхронизацией значения θn изменяются как рациональное кратное n.
- Предельное поведение определяется числом оборотов ω.
- Язычки Арнольда показаны желтым цветом на рисунке.
-
Фиксация значений θn
- Отдельные значения θn могут быть изменены случайными возмущениями без нарушения предельного числа оборотов.
- Последовательность остается “привязанной” к сигналу при наличии шума.
- Это важно для электронных схем с фазовой автоподстройкой.
-
Круговая карта и рациональные числа
- Для каждого рационального числа p/q существует область с фиксированным режимом работы.
- Круговая карта отображает рациональные значения в ненулевые при K ≠ 0.
- Крупные язычки встречаются во фракциях Фарея.
-
Отображение окружности и устойчивость
- При K < 1 отображение окружности является диффеоморфизмом с одним устойчивым решением.
- При K > 1 возможны области с двумя перекрывающимися блокирующими областями.
- В области могут перекрываться не более двух областей блокировки стабильного режима.
-
Субгармонические пути к хаосу
- Круговая карта показывает субгармонические пути к хаосу, такие как удвоение периода в виде 3, 6, 12, 24….
-
Стандартная карта Чирикова
- Связана с картой окружностей, имеет схожие рекуррентные соотношения.
- Вводит импульс pn, который может динамически изменяться.
- Изучается в физике с помощью гамильтониана с вращающимся ротором.
-
Приложения
- Языки Арнольда применялись для изучения сердечных ритмов и синхронизации резонансных туннельных диодных генераторов.
-
Галерея и внешние ссылки
- Содержит краткий обзор основных фактов и детальный анализ сердечных ритмов.
- Внешние ссылки включают интерактивную Java-апплет для круговой карты.