Оглавление
Проблема Шоттки
-
Задача Шоттки
- Задача Шоттки требует характеристики якобиевых многообразий среди абелевых многообразий.
- Рассматриваются алгебраические кривые C и их якобианы Jac(C).
- Существует морфизм Jac: Mg → Ag, который принимает класс изоморфизма [C] к [Jac(C)].
- Теорема Торелли утверждает, что Jac инъективен.
-
Размерности и локус Шоттки
- Размерность Mg равна 3g-3 для g ≥ 2, а размерность Ag равна g(g+1)/2.
- Для g = 0, 1, 2, 3 размеры одинаковы, но для g = 4 размеры меняются.
- Шоттки применил тета-константы для определения локуса Шоттки в Ag.
-
Формулировка задачи
- Вопрос состоит в том, совпадает ли изображение Jac с локусом Шоттки.
- В размерности 1 эллиптические кривые являются якобианами, что моделирует Ag.
- В размерностях 2 и 3 существуют два типа абелевых многообразий: якобиан кривой рода 2 или произведение якобианов эллиптических кривых.
-
Периодическая решетка и матричная формулировка
- В интуитивных терминах задача Шоттки спрашивает, какое условие для параметров подразумевает, что абелево многообразие происходит из якобиана кривой.
- В классическом случае над полем комплексных чисел абелево многообразие A — это комплексный тор, возникающий из решетки в Cg.
- Риман записал необходимые и достаточные условия на решетке для включения тора в комплексное проективное пространство.
- Проблема Шоттки сводится к характеристике периодических матриц компактных римановых поверхностей рода g.
-
Геометрия задачи
- Существует ряд геометрических подходов к задаче.
- Вопрос связан с уравнением Кадомцева–Петвиашвили и теорией солитонов.