Представление группы Ли

• Основы теории представлений

  • Теория представлений изучает математические структуры, которые описывают действия групп на векторных пространствах. 
  • Группа Ли — это алгебраическая структура, которая описывает непрерывные группы преобразований. 
  • Представление группы Ли — это отображение, которое отображает группу в группу линейных операторов на векторном пространстве. 

• Неприводимые представления

  • Неприводимое представление — это представление, которое не может быть разложено на сумму меньших представлений. 
  • Неприводимые представления являются фундаментальными для теории представлений и часто используются для описания элементарных частиц. 

• Тензорное произведение представлений

  • Тензорное произведение двух представлений может быть неприводимым, и задача теории представлений заключается в разложении таких произведений. 
  • В физике эта проблема известна как «сложение углового момента» или «теория Клебша-Гордана». 

• Двойственные представления

  • Двойственное представление — это представление, которое связано с представлением группы Ли через двойственное пространство. 
  • Двойственность неприводимого представления всегда неприводима, но может быть изоморфной исходному представлению. 

• Сравнение представлений группы Ли и алгебры Ли

  • Представления группы Ли часто связаны с представлениями соответствующей алгебры Ли, но не каждое представление алгебры Ли происходит из представления группы. 
  • Теорема Ли позволяет получить взаимно однозначное соответствие между представлениями группы и алгебры Ли для односвязных групп. 

• Экспоненциальное отображение и представления алгебры Ли

  • Экспоненциальное отображение связывает алгебру Ли с группой Ли, позволяя вычислять групповые представления через представления алгебры Ли. 
  • Представления алгебры Ли могут быть получены из групповых представлений через дифференциальное отображение. 

• Групповые представления из представлений алгебры Ли

  • Каждое представление алгебры Ли может быть получено из представления группы Ли, если группа Ли просто связна. 
  • Проективные представления возникают из обычных представлений универсальной обложки группы Ли и могут быть многозначными. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.