Алгоритм определения собственных значений
-
Определение собственных значений
- Собственные значения матрицы описывают ее собственные векторы и являются корнями характеристического многочлена.
- Существуют специальные классы матриц, для которых собственные значения могут быть вычислены напрямую.
-
Треугольные матрицы
- Собственные значения треугольной матрицы равны ее диагональным элементам.
-
Разложимые на множители полиномиальные уравнения
- Если многочлен p удовлетворяет p(A) = 0, то его корни являются собственными значениями матрицы A.
-
Операторы проекции
- Проектирующие операторы удовлетворяют p2 = p, что приводит к собственным значениям ±1.
-
Матрицы 2×2
- Существуют формулы для вычисления собственных значений, включая квадратичную формулу.
- Вычисление собственных векторов возможно с использованием теоремы Кэли-Гамильтона.
-
Симметричные матрицы 3×3
- Характеристическое уравнение симметричной матрицы 3×3 может быть решено с использованием методов Кардано или Лагранжа.
- Аффинное изменение матрицы упрощает решение и приводит к тригонометрическим формулам.
-
Собственные векторы нормальных матриц 3×3
- Для нормальных матриц 3×3 собственные векторы могут быть найдены с использованием перекрестного произведения.
- Если матрица не является нормальной, перекрестное произведение все еще может быть использовано для нахождения собственных векторов кратности 2.