Ultrametric space
-
Определение ультраметрического пространства
- Ультраметрическое пространство — это метрическое пространство с усиленным треугольным неравенством.
- Ультраметрическое неравенство: d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)} для всех x, y, z.
- Ультраметрическое пространство состоит из множества M и ультраметрической функции d.
-
Свойства ультраметрических пространств
- Каждое тройное пересечение точек образует равнобедренный треугольник.
- Все точки внутри шара являются его центром.
- Пересекающиеся шары содержатся друг в друге.
- Все шары строго положительного радиуса являются открытыми и закрытыми множествами.
- Множество открытых шаров с центром в закрытом шаре образует разбиение последнего.
-
Примеры ультраметрических пространств
- Дискретная метрика является ультраметрической.
- p-адические числа образуют полное ультраметрическое пространство.
- Множество слов с расстоянием 2−n является ультраметрическим пространством.
- Множество слов с p-близким расстоянием является ультраметрическим пространством.
- Последовательность r = (rn) индуцирует ультраметрику на пространстве комплексных последовательностей.
- Вершины взвешенного графа с расстоянием d(u, v) образуют ультраметрическое пространство.
-
Приложения ультраметрических пространств
- Контрактные отображения используются для аппроксимации результатов вычислений.
- p-адический анализ использует ультраметрическую природу p-адической метрики.
- В физике конденсированного состояния ультраметричность проявляется в модели SK.
- В таксономии и филогенетическом древостроении ультраметричные расстояния используются методами UPGMA и WPGMA.
- В анализе ДНК, РНК и белков ультраметричность называется молекулярным часом.
- В моделях турбулентности ультраметричность используется в каскадах.
- В географии и ландшафтной экологии ультраметричные расстояния применяются для измерения сложности ландшафта.