Многочлены Чебышева
-
Определение многочленов Чебышева
- Многочлены Чебышева определяются как Tn(x) и Un(x), где Tn(x) = cos(nθ) и Un(x) = sin((n+1)θ).
- Они могут быть выражены через тригонометрические функции и формулы де Муавра.
-
Свойства многочленов Чебышева
- Tn(x) ортогональны по отношению к внутреннему произведению, а Un(x) ортогональны к другому внутреннему произведению.
- Tn(x) имеют максимально возможный ведущий коэффициент и ограничены единицей на интервале [-1, 1].
- Они экстремальны для многих других свойств.
-
Применение многочленов Чебышева
- В теории приближений для решения линейных систем.
- Корни Tn(x) используются для оптимизации полиномиальной интерполяции.
- Метод квадратуры Кленшоу-Кертиса основан на использовании многочленов Чебышева.
-
Производящие функции
- Обычная производящая функция для Tn(x) равна 1-tx/(1-2tx+t2).
- Экспоненциальная производящая функция для Tn(x) равна e^tx\cosh(t\sqrt{x^2-1}).
- Производящая функция для Un(x) равна 1/(1-2tx+t2).
-
Тригонометрическое определение
- Tn(x) = cos(n\arccos x) при |x| ≤ 1, cosh(n\arccosh x) при x ≥ 1, (-1)^n\cosh(n\arccosh(-x)) при x ≤ -1.
- Un(x) = sin((n+1)\theta)/sin\theta.
-
Определение через уравнение Пелла
- Tn(x)2 — (x^2 — 1)Un-1(x)2 = 1.
- Многочлены Чебышева могут быть сгенерированы стандартным методом для уравнений Пелла.
-
Соотношения между Tn и Un
- Tn(x) + Un-1(x)\sqrt{x^2 — 1} = (x + x^2 — 1)^n.
- Tn+1(x) = xTn(x) — (1 — x^2)Un-1(x), Un+1(x) = xUn(x) + Tn+1(x).
-
Определение и рекуррентные соотношения
- Многочлены Чебышева второго рода определяются через рекуррентное соотношение: Tn(x) = 1/2(Un(x) — Un-2(x)).
- Итеративное использование формулы дает формулу суммы: Un(x) = 2∑j=0^n Tj(x) для нечетных n и 2∑j=0^n Tj(x) + 1 для четных n.
- Производная формула для Tn(x) дает рекуррентное соотношение для производной: 2Tn(x) = 1/(n+1)d/dxTn+1(x) — 1/(n-1)d/dxTn-1(x).
-
Неравенства и интегральные соотношения
- Неравенства Турана: Tn(x)^2 — Tn-1(x)Tn+1(x) = 1-x^2 > 0 для -1 < x < 1 и Un(x)^2 — Un-1(x)Un+1(x) = 1 > 0.
- Интегральные соотношения: ∫-1^1 Tn(y)y-x d/√(1-y^2) = πUn-1(x), ∫-1^1 Un-1(y)y-x d/√(1-y^2) = -πTn(x).
-
Явные выражения
- Тригонометрическое определение: Tn(x) = cos(n arccos x) для -1 ≤ x ≤ 1, cosh(n arccosh x) для 1 ≤ x, (-1)^n cosh(n arccosh (-x)) для x ≤ -1.
- Определение возведения в степень комплексного числа: Tn(x) = 1/2((x-x^2-1)^n + (x+x^2-1)^n) для x ∈ R.
- Формула де Муавра: Tn(cos(θ)) = Re((cos nθ + i sin nθ)) = Re((cos θ + i sin θ)^n).
- Гипергеометрическая функция: Tn(x) = ∑k=0^⌊n/2⌋ (n2k) (x^2-1)^k x^(n-2k) = 2F1(-n,n;1/2;1/2(1-x)).
-
Свойства
- Симметрия: Tn(-x) = (-1)n Tn(x).
-
Экстремумы многочленов Чебышева
- Многочлены Чебышева первого рода имеют экстремумы на интервале -1 ≤ x ≤ 1.
- Экстремумы находятся по адресу n + 1 значений x.
- Экстремумы могут быть ±1 или cos(2πk/d), где d > 2 и d | 2n.
-
Дифференциация и интеграция
- Производные от многочленов могут быть сложными.
- Дифференцирование приводит к формулам, включающим тригонометрические функции.
- Интегрирование позволяет выразить интегралы через многочлены Чебышева.
-
Произведения многочленов Чебышева
- Многочлены Чебышева удовлетворяют соотношению: Tm(x)Tn(x) = 1/2(Tm+n(x) + T|m-n|(x)).
- Это соотношение можно использовать для вычисления многочленов Чебышева.
-
Свойства состава и делимости
- Тригонометрические определения подразумевают свойства композиции и вложенности.
-
Ортогональность многочленов Чебышева
- Многочлены Чебышева ортогональны на интервале [-1, 1] по отношению к весу 1 − x2.
- Ортогональность вытекает из дифференциальных уравнений Чебышева.
-
Дискретная ортогональность
- Многочлены Чебышева удовлетворяют условию дискретной ортогональности.
- Для многочленов второго рода существуют аналогичные суммы.
-
Минимальная θ-норма
- Среди многочленов степени n с ведущим коэффициентом 1, многочлен f(x) = 1/2n-1Tn(x) имеет минимальное максимальное абсолютное значение на интервале [-1, 1].
-
Многочлены Чебышева как частные случаи
- Многочлены Чебышева являются частным случаем ультрасферических многочленов и многочленов Якоби.
- Многочлены Чебышева также являются частным случаем многочленов Диксона.
-
Другие свойства
- Кривые, заданные y = Tn(x), являются частным случаем кривых Лиссажу.
- Существуют соотношения между многочленами Лежандра и многочленами Чебышева.
-
Чебышевские полиномы
- Чебышевские полиномы образуют ортонормированный базис в пространстве Соболева.
- Функция может быть выражена через разложение по Чебышевским полиномам.
- Чебышевские полиномы связаны с косинусными рядами Фурье через замену переменных.
-
Примеры использования
- Чебышевское разложение логарифма (1 + x) позволяет найти коэффициенты через внутреннее произведение или дискретное условие ортогональности.
- Чебышевское разложение (1 − x2)α используется для вычисления коэффициентов через дискретное косинусное преобразование.
-
Частичные суммы и полиномы в Чебышевской форме
- Частичные суммы Чебышевских полиномов полезны для аппроксимации функций и решения дифференциальных уравнений.
- Полиномы в Чебышевской форме могут быть выражены через Чебышевские полиномы первого рода.
-
Связанные полиномы
- Полиномы Cn(x) и Sn(x) связаны с Чебышевскими полиномами через масштабирование.
- Сдвинутые Чебышевские полиномы Tn∗(x) и Un∗(x) связаны с Чебышевскими полиномами через сдвиг аргумента.
- Чебышевские полиномы третьего и четвертого рода связаны с косинусами и синусами через сдвиг аргумента.
-
Ортогональность и пропорциональность
- Чебышевские полиномы ортогональны с различными весами и пропорциональны полиномам Якоби.
-
Свойства многочленов Чебышева
- Многочлены Чебышева удовлетворяют требованиям повторяемости.
- Многочлены Чебышева могут быть представлены в различных формах, в зависимости от начального значения.
-
Модифицированные многочлены Чебышева четного порядка
- Некоторые приложения требуют многочленов Чебышева с корнями из нуля.
- Модифицированные многочлены Чебышева четного порядка содержат два корня из нуля.
- Модифицированные многочлены могут быть созданы из модифицированных узлов Чебышева четного порядка.
-
Пример модифицированного многочлена Чебышева 4-го порядка
- Стандартный многочлен Чебышева 4-го порядка не содержит корней из нуля.
- Модифицированный многочлен Чебышева 4-го порядка четного порядка содержит два корня из нуля.
-
Дополнительные ресурсы
- Математический портал
- Фильтр Чебышева
- Кубический корень Чебышева
- Многочлены Диксона
- Многочлены Лежандра
- Многочлены Лагерра
- Многочлены Эрмита
- Минимальный многочлен от 2cos(2pi/n)
- Многочлены Романовского
- Рациональные функции Чебышева
- Теория аппроксимации
- Аппроксимация функции
- Система Chebfun
- Дискретное преобразование Чебышева
- Неравенство братьев Марковых
- Алгоритм Кленшоу
-
Рекомендации и источники
- Внешние ссылки
- Материалы, связанные с многочленами Чебышева на Викискладе