Метризуемое пространство
-
Определение метризуемого пространства
- Метризуемое пространство — это топологическое пространство, гомеоморфное метрическому пространству.
- Метризуемость определяется существованием метрики, индуцирующей топологию, совпадающую с исходной.
-
Свойства метризуемых пространств
- Метризуемые пространства наследуют топологические свойства метрических пространств.
- Они являются хаусдорфовыми, паракомпактными, нормальными и тихоновскими.
- Некоторые свойства метрики, такие как полнота, не наследуются.
-
Теоремы о метризации
- Теорема Урисона: каждое хаусдорфово второе счетное регулярное пространство метризуемо.
- Теорема Нагаты–Смирнова: метризуемость неразделимого пространства требует регулярности, хаусдорфовости и σ-локально конечной базы.
- Локально метризуемые пространства метризуемы тогда и только тогда, когда они хаусдорфовы и паракомпактны.
-
Примеры метризуемых пространств
- Группа унитарных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве метризуема.
-
Примеры неметризуемых пространств
- Ненормальные пространства, такие как топология Зарисского и топологическое векторное пространство всех функций из вещественной прямой, не поддаются метризации.
- Реальная линия с топологией нижнего предела не метризуема, несмотря на хаусдорфовость и паракомпактность.
-
Локально метризуемые, но не метризуемые пространства
- Линия с двумя началами локально метризуема, но не хаусдорфова.
- Длинная строка локально метризуема, но не метризуема.