Оглавление
Правильно поставленная проблема
-
Корректно поставленные задачи
- Имеют уникальное решение
- Решение непрерывно меняется в зависимости от начальных условий
- Примеры: задача Дирихле, уравнение теплопроводности
-
Некорректно поставленные задачи
- Не имеют уникального решения
- Решение не непрерывно меняется в зависимости от начальных условий
- Примеры: глобальная оптимизация, обратное уравнение теплопроводности
-
Численная нестабильность
- Небольшие ошибки в исходных данных могут привести к большим ошибкам в ответах
- Задачи в нелинейных сложных системах часто нестабильны
-
Регуляризация
- Включает дополнительные допущения для численной обработки
- Пример: регуляризация Тихонова
-
Локальные решения
- Важны для корректности постановки задачи
- Теорема Коши-Ковалевского утверждает существование решений для аналитических функций
-
Энергетический метод
- Устанавливает уникальность и непрерывность решений
- Пример: уравнение диффузии на единичном интервале
-
Принцип максимума
- Альтернативный подход к установлению уникальности и непрерывности
-
Теория полугрупп
- Решение задачи Коши можно выразить через семейство линейных операторов
- Теорема Хилле-Йосиды устанавливает критерии существования таких операторов