Оглавление
- 1 Нелинейная система
- 1.1 Нелинейные системы и уравнения
- 1.2 Линейные и нелинейные отображения
- 1.3 Нелинейные системы уравнений
- 1.4 Нелинейные дифференциальные уравнения
- 1.5 Методы анализа нелинейных систем
- 1.6 Масштабный анализ в механике жидкости и тепла
- 1.7 Динамика маятника
- 1.8 Типы нелинейного динамического поведения
- 1.9 Примеры нелинейных уравнений
- 1.10 Дополнительные ресурсы
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Нелинейная система
Нелинейная система
-
Нелинейные системы и уравнения
- Нелинейные системы характеризуются изменением выходных данных, не пропорциональным изменению входных данных.
- Нелинейные уравнения описываются как системы, в которых неизвестные функции не являются линейными комбинациями переменных.
- Нелинейные системы трудно поддаются решению, поэтому часто аппроксимируются линейными уравнениями.
-
Линейные и нелинейные отображения
- Линейное отображение удовлетворяет принципу аддитивности и однородности.
- Нелинейное отображение не удовлетворяет этим свойствам.
- Линейные уравнения могут быть записаны как f(x) = C, где f(x) является линейной функцией.
-
Нелинейные системы уравнений
- Нелинейная система уравнений состоит из нескольких уравнений, по крайней мере одно из которых не является линейным.
- Для решения таких систем используются методы поиска корней и специальные алгоритмы.
- Нелинейные рекуррентные соотношения определяют последующие члены последовательности как нелинейную функцию предыдущих.
-
Нелинейные дифференциальные уравнения
- Нелинейные дифференциальные уравнения не являются линейными системами.
- Задачи, связанные с нелинейными дифференциальными уравнениями, разнообразны и требуют специальных методов решения.
- Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка часто разрешимы путем разделения переменных.
-
Методы анализа нелинейных систем
- Изучение сохраняющихся величин и диссипативных величин.
- Линеаризация с помощью разложения Тейлора.
- Изменение переменных для упрощения задачи.
- Теория бифуркации и методы определения возмущений.
- Существование решений конечной длительности для некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Масштабный анализ в механике жидкости и тепла
- Используется для упрощения уравнений Навье-Стокса
- Обеспечивает условия ламинарного и одномерного потока
-
Динамика маятника
- Маятник описывается безразмерным нелинейным уравнением
- Решение включает эллиптический интеграл
- Линеаризация в различных точках дает разные решения
-
Типы нелинейного динамического поведения
- Амплитудный спад, хаос, мультистабильность, солитоны, предельные циклы, автоколебания
-
Примеры нелинейных уравнений
- Алгебраическое уравнение Риккати, система из шариков и балок, уравнение Беллмана, уравнение Больцмана, уравнение Коулбрука, общая теория относительности, теория Гинзбурга–Ландау, уравнение Ишимори, уравнение Кадомцева–Петвиашвили, уравнение Кортевега–де Фриза, уравнение Ландау–Лифшица–Гильберта, уравнение Лиенара, уравнения гидродинамики Навье–Стокса, нелинейная оптика, нелинейное уравнение Шредингера, исследование расхода энергии, уравнение Ричардса для потока ненасыщенной воды, самобалансирующийся одноколесный велосипед, уравнение Синуса-Гордона, генератор Ван дер Поля, уравнение Власова
-
Дополнительные ресурсы
- Александр Михайлович Ляпунов, динамическая система, обратная связь, начальное состояние, линейная система, соединение режимов, векторный солитон, серия Volterra
- Исследовательская программа командования и контроля (CCRP), Институт сложных систем Новой Англии, Нелинейная динамика I: Хаос в открытом программном обеспечении Массачусетского технологического института, Библиотека нелинейных моделей, Центр нелинейных исследований Лос-Аламосской национальной лаборатории