Неабелева группа

• Основные понятия теории групп

  • Группа — это множество с определенной операцией, которая удовлетворяет аксиомам. 
  • Подгруппа — это подмножество группы, которое само является группой. 
  • Нормальная подгруппа — это подгруппа, которая содержит все элементы, которые коммутируют с каждым элементом подгруппы. 
  • Группа факторов — это группа, полученная путем деления группы на подгруппу. 
  • Ядро — это подгруппа, которая содержится в каждой нормальной подгруппе. 
  • Изображение — это подгруппа, которая является обратным образом ядра относительно операции группы. 
  • Прямая сумма — это сумма двух групп, где элементы одной группы умножаются на элементы другой. 
  • Венок — это группа, элементы которой являются произведениями элементов двух групп. 
  • Простой — это группа, которая не содержит подгрупп, кроме самой группы и ее тривиальной подгруппы. 
  • Конечный — это группа, которая имеет конечное число элементов. 
  • Бесконечный — это группа, которая содержит бесконечно много элементов. 
  • Непрерывный — это группа, элементы которой могут быть определены на непрерывном множестве. 
  • Мультипликативный — это группа, в которой операция умножения является ассоциативной. 
  • Добавка — это группа, в которой операция сложения является ассоциативной. 
  • Циклический — это группа, элементы которой образуют циклическую последовательность. 
  • Абелев — это группа, элементы которой удовлетворяют законам абелевой группы. 
  • Двугранный — это группа, элементы которой образуют двугранную последовательность. 
  • Нильпотентный — это группа, элементы которой образуют нильпотентную последовательность. 
  • Разрешимый — это группа, элементы которой образуют разрешимую последовательность. 
  • Действие — это операция, которая переводит элементы группы в другие элементы. 

• Глоссарий и список тем

  • Глоссарий содержит определения терминов, связанных с теорией групп. 
  • Список тем включает основные темы теории групп. 

• Примеры групп

  • Циклическая группа Zn, симметричная группа Sn, чередующаяся группа An, двугранная группа Dn и другие. 
  • Группы, такие как Q, PSL(2, Z), SL(2, Z), арифметическая группа, решетка, гиперболическая группа и другие. 

• Важность неабелевых групп

  • Неабелевы группы играют важную роль в математике и физике. 
  • Примеры включают двугранную группу порядка 6 и группу вращений SO(3). 
  • Большинство групп Ли являются неабелевыми и играют ключевую роль в калибровочной теории. 

• Рекомендации

  • Статья содержит ссылки на другие темы, такие как ассоциативная алгебра и некоммутативная геометрия. 
  • Упоминается Нильс Хенрик Абель как важный вкладчик в теорию групп.