Аффинная алгебра Ли
-
Определение аффинных алгебр Ли
- Аффинные алгебры Ли строятся из конечномерных простых алгебр Ли.
- Они определяются как центральные расширения алгебр циклов.
- Аффинные алгебры Каца-Муди строятся путем добавления дополнительного генератора.
-
Структура аффинных алгебр Ли
- Аффинные алгебры Ли имеют базис Картана-Вейля, который расширяется из базиса простой алгебры Ли.
- Форма убийства определяется через инвариантность.
- Полный набор корней аффинной алгебры Ли включает аффинные корни и корни простой алгебры Ли.
-
Теория представлений
- Теория представлений аффинных алгебр Ли разрабатывается с использованием модулей Verma.
- Конечномерных представлений не существует из-за лоренцевости формы Киллинга.
- Аффинные алгебры Ли играют важную роль в теории струн и конформной теории поля.
-
Упорядоченные по радиусу текущие операторские продукты
- Понимание как обычные, упорядоченные по времени
- z = exp(τ + iσ) с τ как времяподобное направление и σ как пространственное направление
-
Вакуумное представление ранга k
- Построение через алгебру Ли g и основу {Jρ}
- {Jnr} = {Jρ ⊗ tn} как основа для алгебры циклов
- {Jnr} ∪ {c} как основа для аффинной алгебры Ли g^
- Vk(g) как комплексное представление с базисом {vn1⋯nmρ1⋯ρm} ∪ {Ω}
- Действие g^ на V задается через c = k idV, JnρΩ = 0 для n ≥ 0, J-nρΩ = vnρ для n > 0
-
Аффинная вершинная алгебра
- Вакуумное представление может быть снабжено структурой вершинной алгебры
- Аффинная алгебра Ли распространяется на алгебру Каца–Муди с оператором перевода T
-
Группа Вейля и персонажи
- Группа Вейля аффинной алгебры Ли как полупрямое произведение группы Вейля алгебры нулевого режима и решетки coroot
- Символьная формула Вейля обобщается на символьную формулу Вейля-Каца
- Построение обобщений тета-функции Якоби и модульной группы
- Обобщение тождеств в знаменателях полупростых алгебр Ли
-
Приложения
- Универсальная обертывающая алгебра аффинной алгебры Ли имеет алгебру Вирасоро как подалгебру
- Аффинные алгебры Ли служат алгебрами симметрии конформных теорий поля
- Аффинные алгебры Ли появляются в теории струн во всемирной таблице
-
Пример
- Алгебра Гейзенберга может быть реализована как аффинная алгебра Ли u^(1)