Алгебра Ивасавы

• Определение алгебры Ивасавы

  • Алгебра Ивасавы Λ(G) — это вариация группового кольца G с p-адическими коэффициентами. 
  • Она является обратным пределом групповых колец Zp(G/H) по открытым нормальным подгруппам G. 

• История и классификация

  • Коммутативные алгебры Ивасавы введены Ивасавой в 1959 году, а некоммутативные — Лазардом в 1965 году. 
  • В частном случае, когда G изоморфна Zp, Λ(G) изоморфна кольцу формальных степенных рядов Zp[[T]]. 
  • Ранг конечно порожденного модуля над Λ(G) равен количеству вхождений модуля Zp[[T]]. 

• Характеристики конечно порожденных модулей

  • Модули над Λ(G) часто являются конечно порожденными торсионными модулями. 
  • Квазиизоморфизмы модулей — это гомоморфизмы с конечными ядрами и смежными ядрами. 
  • Для любого конечно порожденного модуля существует характеристический степенной ряд. 

• Инварианты конечно порожденных модулей

  • μ-инвариант — это количество вхождений модуля Zp[[T]]/(p). 
  • λ-инвариант — это степень T, при которой μ-инвариант достигает минимума. 
  • Если ранг, μ-инвариант и λ-инвариант равны нулю, модуль конечен. 

• Теорема Ивасавы

  • Ивасава доказал, что если X — конечно порожденный модуль кручения, то у X/vnX есть ручка заказа. 
  • Серр показал, что результат Ивасавы следует из стандартных результатов о структурах модулей над интегрально замкнутыми кольцами. 

• Алгебры высшего ранга и некоммутативные алгебры Ивасавы

  • Для более общих алгебр Ивасавы классификация модулей возможна до псевдоизоморфизма. 
  • Для некоммутативных G классификация модулей возможна до псевдонулевых модулей.