Оператор по борьбе с эпидемией
-
Определение антиединичного преобразования
- Антиединичное преобразование — это биективное антилинейное отображение между двумя комплексными гильбертовыми пространствами.
- Для всех x и y в H1, где горизонтальная черта обозначает комплексное сопряжение.
- Если H1 = H2, то U называется антисанитарным оператором.
-
Важность в квантовой механике
- Антиединичные операторы используются для представления симметрий, таких как обращение времени вспять.
- Теорема Вигнера подтверждает их фундаментальное значение в квантовой физике.
-
Преобразования инвариантности
- Инвариантные преобразования сохраняют абсолютное значение скалярного произведения.
- Эти преобразования могут быть как унитарными, так и антиунитарными.
-
Геометрическая интерпретация
- Конгруэнции плоскости образуют два класса: один сохраняет ориентацию, другой нет.
- На комплексной плоскости эти классы соответствуют унитарным и антиединичным объектам.
-
Свойства антиединичных операторов
- ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩¯ = ⟨y, x⟩ для всех элементов x, y гильбертова пространства и антиуниверситетского U.
- U2 является унитарным.
- Для унитарного оператора VK оператор VK является антиуниверситетским.
- Обратное верно для антиуниверситетских операторов U, где UK является унитарным.
-
Примеры антиединичных операторов
- Оператор комплексного сопряжения K является антиуниверситетским на комплексной плоскости.
- Оператор U = iσyK, где σy — вторая матрица Паули, является антиуниверситетским и удовлетворяет U2 = −1.
-
Разложение антиединичных операторов
- Антиединичный оператор в конечномерном пространстве может быть разложен на прямую сумму элементарных вигнеровских антиединиц Wθ, 0 ≤ θ ≤ π.
- Оператор W0: C → C — это простое комплексное сопряжение на C.
- Для 0 < θ ≤ π, оператор Wθ действует на двумерное комплексное Гильбертово пространство.
-
Различие с унитарными операторами
- Унитарный оператор в комплексном гильбертовом пространстве может быть разложен на прямую сумму унитарных операторов, действующих в 1-мерных комплексных пространствах.
- Неунитарный оператор может быть разложен только на прямую сумму элементарных операторов в 1- и 2-мерных комплексных пространствах.