Арифметика абелевых многообразий

• Основы арифметики абелевых многообразий

  • Арифметика абелевых многообразий изучает теорию чисел абелевых многообразий и их семейств. 
  • Исследования Пьера де Ферма и его вклад в эллиптические кривые являются ключевыми для этой области. 

• Целочисленные точки и рациональные точки

  • Целочисленные точки связаны с аффинной геометрией, а рациональные точки — с проективной геометрией. 
  • Теорема Сигеля о целых точках и теорема Морделла-Вейля о рациональных точках являются важными результатами. 

• Теория торсора и высоты

  • Теория торсора приводит к группам Сельмера и Тейта-Шафаревича, последняя из которых трудно изучать. 
  • Каноническая высота Нерона-Тейта играет ключевую роль в гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера. 

• Степень уменьшения и L-функции

  • Сокращение абелева многообразия по модулю простого числа p почти всегда возможно. 
  • L-функции Хассе-Вейля для абелевых многообразий являются важным инструментом в теории чисел. 

• Сложное умножение и CM-типы

  • Абелевы многообразия с дополнительными автоморфизмами имеют особые свойства, включая L-функции. 
  • Эллиптические кривые типа CM играют ключевую роль в теории полей классов. 

• Гипотеза Манина-Мамфорда

  • Гипотеза Манина-Мамфорда утверждает, что кривая в своем якобиевом многообразии может содержать только конечное число точек конечного порядка.