Асимптотическая размерность
-
Определение и свойства асимптотической размерности
- Асимптотическая размерность метрического пространства — это наименьшее число измерений, в которых можно грубо вложиться в евклидово пространство.
- Асимптотическая размерность может быть определена для метрических пространств, групп, топологических пространств и других математических объектов.
-
Примеры и свойства
- Асимптотическая размерность для евклидова пространства равна 1, для сферы — 2, для плоскости — 3.
- Асимптотическая размерность для метрических пространств с конечным числом измерений равна числу измерений.
- Асимптотическая размерность для подпространств меньше или равна асимптотической размерности исходного пространства.
- Асимптотическая размерность для метрических пространств с квазиизометрическими вложениями меньше или равна асимптотической размерности исходного пространства.
-
Применение в геометрической теории групп
- Асимптотическая размерность играет ключевую роль в геометрической теории групп, особенно в связи с гипотезой Новикова.
- Группы с конечной асимптотической размерностью удовлетворяют гипотезе Новикова и являются топологически приемлемыми.
- Группы, являющиеся относительно гиперболическими по отношению к подгруппам с конечной асимптотической размерностью, также имеют конечную асимптотическую размерность.
-
Примеры и ограничения
- Асимптотическая размерность группы Томпсона равна бесконечности.
- Фундаментальная группа конечного графа групп имеет асимптотическую размерность, равную 1 плюс максимум асимптотических размерностей вершин.
- Группы классов отображения ориентируемых поверхностей конечного типа имеют конечную асимптотическую размерность.
- Неизвестна асимптотическая размерность групп, таких как Out(F
- n
- ), для больших значений
- .