Оглавление
- 1 Ядерный оператор
- 1.1 Ядерные операторы и проективное тензорное произведение
- 1.2 Предварительные замечания
- 1.3 Каноническое разложение линейных операторов
- 1.4 Алгебраическое двойственное пространство
- 1.5 Спектральное разложение положительных компактных линейных операторов
- 1.6 Топологии и каноническое тензорное произведение
- 1.7 Ядерные операторы между банаховыми пространствами
- 1.8 Характеристика ядерных операторов
- 1.9 Ядерные операторы между банаховыми пространствами
- 1.10 Ядерные операторы между гильбертовыми пространствами
- 1.11 Характеристики ядерных операторов
- 1.12 Достаточные условия для создания ядерного оператора
- 1.13 Свойства ядерных операторов
- 1.14 Основные понятия
- 1.15 Рекомендации
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 Атомный оператор – Википедия
Ядерный оператор
-
Ядерные операторы и проективное тензорное произведение
- Ядерные операторы введены Александром Гротендиком.
- Они связаны с проективным тензорным произведением топологических векторных пространств.
-
Предварительные замечания
- Пусть X, Y и Z — топологические векторные пространства, а L : X → Y — линейный оператор.
- Проективное тензорное произведение X ⊗ π Y обозначается как X ⊗^ π Y.
- Множество непрерывных линейных отображений X → Z обозначается через L(X, Z).
-
Каноническое разложение линейных операторов
- Любая линейная карта L : X → Y может быть канонически разложена как X → X / кер L → L0 Im L → Y.
- L0(x + кер L) := L(x) определяет биекцию, называемую канонической биекцией.
-
Алгебраическое двойственное пространство
- X# обозначает алгебраическое двойственное пространство X.
- Если L : H1 → H2 — непрерывное линейное отображение между гильбертовыми пространствами, то L∗ ∘ L всегда позитивен.
-
Спектральное разложение положительных компактных линейных операторов
- Положительные компактные линейные операторы имеют простое спектральное разложение.
- Существует последовательность положительных чисел и подпространств, таких что L(x) = rix для всех x ∈ Vj.
-
Топологии и каноническое тензорное произведение
- σ(X, X’) обозначает самую грубую топологию на X, делающую каждое отображение в X’ непрерывным.
- b(X, X’) обозначает топологию ограниченной сходимости по X.
- Каноническое тензорное произведение X и Y определяется через каноническую карту χ: X × Y → Bi(X, Y)#.
-
Ядерные операторы между банаховыми пространствами
- Существует каноническое вложение X’ ⊗ Y → L(X; Y).
- Ядерные операторы — это элементы L1(X; Y), которые являются TVS-изоморфными (X’ ⊗^ π Y) / кер I^.
- Норма трассировки ‖⋅‖Tr определяется как inf z ∈ I^−1(T) ‖z‖π.
-
Характеристика ядерных операторов
- Если N : X → Y — непрерывный линейный оператор, то N является ядерным тогда и только тогда, когда существует последовательность (x’i)i=1∞, (yi)i=1∞ и (ci)i=1∞ такая, что N(x) = ∑i=1∞ cix’i(x)yi для всех x ∈ X.
- Норма трассировки ‖N‖Tr равна нижней границе чисел ∑i=1∞ |ci|.
- Если Y рефлексивно, то N является ядерным тогда и только тогда, когда tN: Y’b → X’b.
-
Ядерные операторы между банаховыми пространствами
- Ядерные операторы между банаховыми пространствами имеют норму, равную норме оператора.
- Транспонирование ядерного оператора также является ядерным.
-
Ядерные операторы между гильбертовыми пространствами
- Ядерные автоморфизмы гильбертовых пространств называются операторами класса трассировок.
- Ядерные операторы между гильбертовыми пространствами эквивалентны положительным самосопряженным операторам.
-
Характеристики ядерных операторов
- Ядерные операторы могут быть представлены как интегральные отображения.
- Ядерные операторы между локально выпуклыми пространствами определяются через канонические проекции.
-
Достаточные условия для создания ядерного оператора
- Композиция ядерных операторов также является ядерной.
- Ядерные операторы могут быть расширены до ядерных операторов на полных пространствах.
-
Свойства ядерных операторов
- Ядерные операторы компактны.
- Ядерные операторы содержатся в закрытии произведения пространств.
-
Основные понятия
- Рассматривается как подпространство L(X; Y)
- Вспомогательные нормированные пространства
- Оператор ковариации
- Начальная топология
- Индуктивное тензорное произведение
- Инъективное тензорное произведение
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство
- Ядерные операторы между банаховыми пространствами
- Ядерное пространство
- Проективное тензорное произведение
- Тензорное произведение гильбертовых пространств
- Топологическое тензорное произведение
- Класс трассировки
- Топологическое векторное пространство
-
Рекомендации
- Библиография
- Внешние ссылки