Атомный оператор – Википедия

Оглавление1 Ядерный оператор1.1 Ядерные операторы и проективное тензорное произведение1.2 Предварительные замечания1.3 Каноническое разложение линейных операторов1.4 Алгебраическое двойственное пространство1.5 Спектральное разложение […]

Ядерный оператор

  • Ядерные операторы и проективное тензорное произведение

    • Ядерные операторы введены Александром Гротендиком.  
    • Они связаны с проективным тензорным произведением топологических векторных пространств.  
  • Предварительные замечания

    • Пусть X, Y и Z — топологические векторные пространства, а L : X → Y — линейный оператор.  
    • Проективное тензорное произведение X ⊗ π Y обозначается как X ⊗^ π Y.  
    • Множество непрерывных линейных отображений X → Z обозначается через L(X, Z).  
  • Каноническое разложение линейных операторов

    • Любая линейная карта L : X → Y может быть канонически разложена как X → X / кер L → L0 Im L → Y.  
    • L0(x + кер L) := L(x) определяет биекцию, называемую канонической биекцией.  
  • Алгебраическое двойственное пространство

    • X# обозначает алгебраическое двойственное пространство X.  
    • Если L : H1 → H2 — непрерывное линейное отображение между гильбертовыми пространствами, то L∗ ∘ L всегда позитивен.  
  • Спектральное разложение положительных компактных линейных операторов

    • Положительные компактные линейные операторы имеют простое спектральное разложение.  
    • Существует последовательность положительных чисел и подпространств, таких что L(x) = rix для всех x ∈ Vj.  
  • Топологии и каноническое тензорное произведение

    • σ(X, X’) обозначает самую грубую топологию на X, делающую каждое отображение в X’ непрерывным.  
    • b(X, X’) обозначает топологию ограниченной сходимости по X.  
    • Каноническое тензорное произведение X и Y определяется через каноническую карту χ: X × Y → Bi(X, Y)#.  
  • Ядерные операторы между банаховыми пространствами

    • Существует каноническое вложение X’ ⊗ Y → L(X; Y).  
    • Ядерные операторы — это элементы L1(X; Y), которые являются TVS-изоморфными (X’ ⊗^ π Y) / кер I^.  
    • Норма трассировки ‖⋅‖Tr определяется как inf z ∈ I^−1(T) ‖z‖π.  
  • Характеристика ядерных операторов

    • Если N : X → Y — непрерывный линейный оператор, то N является ядерным тогда и только тогда, когда существует последовательность (x’i)i=1∞, (yi)i=1∞ и (ci)i=1∞ такая, что N(x) = ∑i=1∞ cix’i(x)yi для всех x ∈ X.  
    • Норма трассировки ‖N‖Tr равна нижней границе чисел ∑i=1∞ |ci|.  
    • Если Y рефлексивно, то N является ядерным тогда и только тогда, когда tN: Y’b → X’b.  
  • Ядерные операторы между банаховыми пространствами

    • Ядерные операторы между банаховыми пространствами имеют норму, равную норме оператора.  
    • Транспонирование ядерного оператора также является ядерным.  
  • Ядерные операторы между гильбертовыми пространствами

    • Ядерные автоморфизмы гильбертовых пространств называются операторами класса трассировок.  
    • Ядерные операторы между гильбертовыми пространствами эквивалентны положительным самосопряженным операторам.  
  • Характеристики ядерных операторов

    • Ядерные операторы могут быть представлены как интегральные отображения.  
    • Ядерные операторы между локально выпуклыми пространствами определяются через канонические проекции.  
  • Достаточные условия для создания ядерного оператора

    • Композиция ядерных операторов также является ядерной.  
    • Ядерные операторы могут быть расширены до ядерных операторов на полных пространствах.  
  • Свойства ядерных операторов

    • Ядерные операторы компактны.  
    • Ядерные операторы содержатся в закрытии произведения пространств.  
  • Основные понятия

    • Рассматривается как подпространство L(X; Y)  
    • Вспомогательные нормированные пространства  
    • Оператор ковариации  
    • Начальная топология  
    • Индуктивное тензорное произведение  
    • Инъективное тензорное произведение  
    • Локально выпуклое топологическое векторное пространство  
    • Ядерные операторы между банаховыми пространствами  
    • Ядерное пространство  
    • Проективное тензорное произведение  
    • Тензорное произведение гильбертовых пространств  
    • Топологическое тензорное произведение  
    • Класс трассировки  
    • Топологическое векторное пространство  
  • Рекомендации

    • Библиография  
    • Внешние ссылки  

Полный текст статьи:

Атомный оператор – Википедия

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх