Оглавление
Бесплатный продукт
-
Определение и свойства свободного произведения
- Свободное произведение двух групп G и H создает новую группу G∗H, содержащую элементы G и H.
- Свободное произведение является “универсальной” группой, поскольку гомоморфизмы из G и H однозначно определяются через гомоморфизм в G∗H.
- Если хотя бы одна из групп не тривиальна, свободное произведение бесконечно.
-
Роль в теории групп
- Свободное произведение играет аналогичную роль в теории групп, как непересекающееся объединение в теории множеств или прямая сумма в теории модулей.
- Свободное произведение не является копроизведением в категории абелевых групп, даже если группы коммутативны.
-
Применение в алгебраической топологии
- Теорема ван Кампена утверждает, что фундаментальная группа объединения двух связанных пространств является объединенным свободным произведением их фундаментальных групп.
- Свободные произведения важны в теории Басса-Серра, где они используются для построения групп, действующих на деревьях.
-
Примеры и построение
- Примеры включают циклические группы и модульную группу PSL2(Z).
- Свободное произведение строится путем сокращения слов в G и H с помощью операций удаления и замены пар.
-
Презентация и обобщение
- Представление для G и H генерируется образующими и отношениями, а для свободного произведения – образующими для G и H вместе с отношениями из G и H.
- Обобщение свободного произведения с объединением включает добавление отношений для элементов из произвольной группы F.
-
Другие применения
- Свободные произведения используются в теории вероятностей для определения “свободы” и в других алгебраических структурах, таких как алгебры над полем.
Полный текст статьи: