Численные методы вычисления линейных наименьших квадратов
-
Общий подход к задаче наименьших квадратов
- Задача минимизации суммы квадратов ошибок в линейной регрессии
- Решение задачи через ортогональную проекцию вектора на подпространство, заданное матрицей X
-
Методы инвертирования матрицы нормальных уравнений
- Нормальное уравнение: X^T X β = X^T y
- Псевдообратная функция Мура-Пенроуза для решения уравнения
- Эффективно при аналитическом выражении, но неэффективно в вычислительном плане
- Разложение Холецкого для хорошо обусловленных матриц XTX
-
Методы ортогональной декомпозиции
- Разложение по QR для избегания произведения XTX
- Решение через ортогональное разложение и умножение на ортогональную матрицу
- Альтернативное разложение по сингулярным значениям
-
Псевдообратимость и решение задачи наименьших квадратов
- Использование псевдообратной матрицы для получения ортогональной проекции
- Решение через псевдообратную матрицу и свойство псевдообратимости
- Метод усеченного SVD для улучшения точности решения при плохой обусловленности матрицы XTX
-
Обсуждение и рекомендации
- Важность численных методов для линейной регрессии в статистике
- Необходимость учета ошибок округления в матричных вычислениях
- Упоминание о важности эффективности вычислений для анализа с большим количеством данных
- Ссылки на дополнительную литературу по численной линейной алгебре и методам нелинейного метода наименьших квадратов
Полный текст статьи: