Оглавление
Циклическая гомология
-
Определение и история
- Циклические гомологии и когомологии введены Борисом Цыганом и Аленом Конном в 1980-х годах.
- Эти инварианты связаны с теорией де Рама, гомологией Хохшильда, групповыми когомологиями и K-теорией.
- В разработку теории внесли вклад Макс Каруби, Юрий Л. Далецкий, Борис Фейгин и другие.
-
Определение циклической гомологии
- Первое определение использует комплекс Конна, связанный с гомологичным комплексом Хохшильда.
- Компоненты комплекса Конна определяются через оператор tn, порождающий циклическое действие Z/nZ на n-м тензорном произведении.
- Дифференциал Хохшильда учитывается в пространстве коинвариантов.
-
Категоричный подход
- Конн предложил более категоричный подход, используя понятие циклического объекта в абелевой категории.
- Циклические гомологии могут быть интерпретированы как производный функтор.
-
Случай коммутативных колец
- Циклические когомологии коммутативной алгебры регулярных функций на аффинном алгебраическом многообразии вычисляются через алгебраический комплекс Гротендика де Рама.
- Эта формула предлагает способ определения когомологий де Рама для некоммутативных алгебр.
-
Варианты циклической гомологии
- Циклические гомологии аппроксимируют K-теорию и могут быть модифицированы для топологических алгебр.
- Определены полные циклические гомологии, аналитические циклические гомологии и асимптотические и локальные циклические гомологии.
-
Приложения
- Циклические гомологии используются для поиска новых доказательств и обобщений теоремы об индексе Атии-Сингера.
- Эллиптические операторы определяют классы в K-гомологиях, которые можно рассматривать как инварианты.
-
Вычисления алгебраической K-теории
- Циклотомическая карта следов отображает алгебраическую K-теорию в циклическую гомологию.
- Теорема Гудвилли утверждает изоморфизм между относительной K-теорией и относительной циклической гомологией.
- Клаузен, Мэтью и Морроу доказали обобщение теоремы Гудвилли для коммутативных колец.
-
Смотрите также
- Некоммутативная геометрия
- Записи
- Рекомендации