Циклическая группа
-
Определение и обозначения
- Циклическая группа (Cn) генерируется одним элементом g.
- Порядок элемента равен порядку циклической подгруппы, которую он генерирует.
- Конечная циклическая группа порядка n изоморфна Z/nZ.
- Бесконечная циклическая группа изоморфна Z.
-
Примеры
- Множество целых чисел Z образует бесконечную циклическую группу.
- Множество целых чисел по модулю n образует конечную циклическую группу Z/nZ.
- Множество примитивных корней из единицы образует циклическую группу порядка n.
- Группа Галуа расширения поля рациональных чисел, порожденного n-ми корнями из единицы, образует циклическую группу.
-
Свойства
- Каждая циклическая группа является абелевой.
- Каждая конечно порожденная абелева группа является прямым произведением циклических групп.
- Каждая циклическая группа простого порядка является простой группой.
- Циклические группы простого порядка являются строительными блоками для всех групп.
-
Подгруппы
- Все подгруппы и частные группы циклических групп являются циклическими.
- Все подгруппы Z имеют вид ⟨m⟩ = mZ, где m — положительное целое число.
-
Основные свойства циклических групп
- Циклические группы изоморфны двойственной решетке натуральных чисел.
- Простые числа не имеют нетривиальных делителей, поэтому pZ является максимальной подгруппой.
- Фактор-группа Z/pZ проста, если p простое.
- Все частные группы Z/nZ конечны, кроме Z/0Z.
- Для каждого положительного делителя d из n фактор-группа Z/nZ имеет подгруппу порядка d.
-
Абелевы свойства циклических групп
- Каждая циклическая группа абелева, то есть групповая операция коммутативна.
- Для конечной циклической группы порядка n gn является единичным элементом.
- Фундаментальная теорема об абелевых группах утверждает, что каждая конечно порожденная абелева группа является конечным прямым произведением первичной циклической и бесконечной циклической групп.
-
Классы сопряженности и порядок элементов
- Каждый класс сопряженности циклической группы состоит из одного элемента.
- Циклическая группа порядка n имеет n классов сопряженности.
- Если d является делителем n, то число элементов порядка d равно φ(d).
-
Изоморфизмы и прямое произведение
- Прямое произведение двух циклических групп Z/nZ и Z/mZ изоморфно Z/nmZ.
- Если p простое, то любая группа с p элементами изоморфна Z/pZ.
-
Циклические числа и представления
- Циклические числа — это числа, для которых Z/nZ является единственной группой порядка n.
- Циклические группы имеют групповое представление C∞ и Cn.
-
Связанные объекты
- График цикла иллюстрирует различные циклы группы.
- Граф Кэли — это граф, определенный из пары (G, S), где G — группа, а S — набор образующих.
- Кольцо эндоморфизмов Z/nZ изоморфно самому Z/nZ.
-
Связанные классы групп
- Практически циклические группы содержат циклическую подгруппу с конечным индексом.
- Проциклические группы могут быть топологически сгенерированы одним элементом.
- Локально циклические группы имеют циклические конечно порожденные подгруппы.
- Циклически упорядоченные группы сохраняют циклический порядок.
- Метациклические группы содержат циклическую нормальную подгруппу, частное которой также является циклическим.
- Полициклические группы имеют конечную нисходящую последовательность подгрупп с циклическим коэффициентом.