Оглавление
- 1 Дополненное подпространство
- 1.1 Определение дополненного подпространства
- 1.2 Алгебраическая прямая сумма
- 1.3 Топологическая прямая сумма
- 1.4 Дополненное подпространство
- 1.5 Примеры и достаточные условия
- 1.6 Конечный размер
- 1.7 Топологическое дополнение
- 1.8 Конечная коразмерность
- 1.9 Гильбертовы пространства
- 1.10 Пространства Фреше
- 1.11 Свойства и примеры незавершенных подпространств
- 1.12 Приложения
- 1.13 Способ декомпозиции
- 1.14 В классических банаховых пространствах
- 1.15 Неразложимые банаховы пространства
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 Дополненное подпространство
Дополненное подпространство
-
Определение дополненного подпространства
- Дополненное подпространство топологического векторного пространства X — это векторное подпространство M, для которого существует векторное подпространство N, такое что X является прямой суммой M ⊕ N.
- Формально топологические прямые суммы усиливают алгебраическую прямую сумму, требуя непрерывности определенных отображений.
-
Алгебраическая прямая сумма
- Векторное пространство X называется алгебраической прямой суммой M ⊕ N, если карта сложения S: M × N → X является изоморфизмом или биективной.
- В этом случае N называется алгебраическим дополнением M в X.
-
Топологическая прямая сумма
- В категории топологических векторных пространств алгебраическое разложение становится менее полезным.
- Карта сложения S должна быть непрерывным, а канонические проекции P_M и P_N должны быть морфизмами.
- X является топологической прямой суммой M и N, если S является TVS-изоморфизмом, обратная сторона S^-1 непрерывна, и по крайней мере одна из канонических проекций непрерывна.
-
Дополненное подпространство
- Векторное подпространство M дополняется в X, если существует непрерывная линейная карта P_M: X → X с изображением P_M(X) = M и P_M ∘ P_M = P_M.
- В банаховых пространствах эквивалентное условие: M закрыто в X, существует замкнутое подпространство N ⊆ X, и S является изоморфизмом M ⊕ N к X.
-
Примеры и достаточные условия
- Lp(X) дополняется в Lp(Y), если X имеет положительную меру.
- c_0 дополняется в c, пространство сходящихся последовательностей.
- L1([0,1]) дополняется в rca([0,1]) ≅ C([0,1])∗.
- X × {0} и {0} × Y являются топологическими дополнениями в X × Y.
- Каждое алгебраическое дополнение к {0}¯ также является топологическим дополнением.
- Если X = M ⊕ N и A: X → Y сюръективно, то Y = AM ⊕ AN.
-
Конечный размер
- В Хаусдорфовых и локально выпуклых пространствах любое свободное топологическое векторное подпространство является замкнутым и дополненным.
- В произвольных топологических векторных пространствах конечномерное векторное подпространство дополняется.
-
Топологическое дополнение
- Топологическое дополнение существует, если для каждого ненулевого элемента существует непрерывный линейный функционал, разделяющий его от нуля.
- Пример, где это не удается, приведен в § Пространства Фреше.
-
Конечная коразмерность
- Не все конечномерные векторные подпространства TVS замкнуты, но те, которые замкнуты, имеют дополнения.
-
Гильбертовы пространства
- В гильбертовом пространстве ортогональное дополнение замкнутого векторного подпространства всегда является топологическим дополнением.
- Каждое бесконечномерное, не Гильбертово банахово пространство содержит замкнутое неполное подпространство.
-
Пространства Фреше
- Пространство Фреше не поддается нормализации, если содержит векторное подпространство TVS-изоморфное K^N.
- Пространство Фреше содержит дополненное векторное подпространство TVS-изоморфное K^N, если оно не поддается нормализации.
-
Свойства и примеры незавершенных подпространств
- Дополненное подпространство хаусдорфова пространства обязательно замкнуто.
- Каждое бесконечномерное банахово пространство содержит незамкнутые линейные подпространства.
- Если X представляет собой комплект телевизоров и X/M не завершен, M не имеет топологического дополнения в X.
-
Приложения
- Если A: X → Y является непрерывной линейной сюръекцией, то ядро A имеет топологическое дополнение, если существует “прямая инверсия”.
-
Способ декомпозиции
- Топологические векторные пространства допускают теорему типа Кантора-Шредера-Бернштейна.
- Существуют неизоморфные банаховы пространства X и Y, каждое из которых дополняет другое.
-
В классических банаховых пространствах
- Понимание дополненных подпространств произвольного банахова пространства X соответствует изоморфизму.
- Проблема остается открытой для ряда важных банаховых пространств, таких как L1[0,1].
- Для некоторых банаховых пространств вопрос закрыт, например, для ℓp и c0.
- Пространства Lp[0,1] не являются простыми при p ∈ (1,2) ∪ (2,∞).
- Пространства L2[0,1] и L∞[0,1] являются простыми.
- Пространство L1[0,1] не является простым, так как содержит дополненную копию ℓ1.
-
Неразложимые банаховы пространства
- Бесконечномерное банахово пространство называется неразложимым, если его единственные дополняемые подпространства являются либо конечномерными, либо кодовыми.
- Неразложимые банаховы пространства являются простыми.
- Наиболее известный пример неразложимых пространств неразложим по наследству.