Оглавление [Скрыть]
Двойственность Картье
-
Определение двойственности Картье
- Двойственность Картье является аналогом двойственности Понтрягина для коммутативных групповых схем.
- Представлена Пьером Картье в 1962 году.
- Определяется как функтор, преобразующий S-схемы в абелевы группы гомоморфизмов.
- Образует аддитивную инволютивную антиэквивалентность из категории конечных плоских коммутативных схем S-группы к самой себе.
-
Примеры и приложения
- Если G – постоянная коммутативная групповая схема, то ее двойственной Картье является диагонализуемая группа D(G).
- Если S аффинно, то функтор двойственности задается двойственностью алгебр функций Хопфа.
- Двойственность Картье соответствует взятию двойственности алгебры Хопфа и замене умножения и коумножительной функции.
-
Более общие случаи
- Определение Cartier dual распространяется на пучки fppf коммутативных групп и их комплексы.
- Эти объекты полезны для работы с категориями с хорошим поведением в отношении ограничений.
- Для коммутативных алгебраических групп над полем двойственность Картье дает антиэквивалентность коммутативным аффинным формальным группам.
- Для петлевых групп торов двойственность Картье определяет ручной символ в теории поля локальных геометрических классов.
-
Примеры
- Двойник Картье циклической группы Z/nZ порядка n – это n-й корень из единицы μn.
- Над полем характеристики p групповая схема αp (ядро эндоморфизма аддитивной группы, индуцированного взятием pth степеней) является собственным двойственным по Картье.