Оглавление
- 1 Двойственность (математика)
- 1.1 Двойственность в математике
- 1.2 Примеры двойственности
- 1.3 Теория Галуа
- 1.4 Двойственность, изменяющая порядок
- 1.5 Двойственность, обращающая вспять измерения
- 1.6 Двойственность многогранников
- 1.7 Двойственность графов
- 1.8 Двойственность в теории оптимизации
- 1.9 Двойственность в логике и теории множеств
- 1.10 Двудуальный
- 1.11 Двойные объекты
- 1.12 Пересмотр двойственных векторных пространств
- 1.13 Двойственность в проективной геометрии
- 1.14 Топологические векторные пространства и гильбертовы пространства
- 1.15 Другие двойные объекты
- 1.16 Две категории и сопряженные функторы
- 1.17 Пространства и функции
- 1.18 Соединения Галуа
- 1.19 Двойственность Понтрягина
- 1.20 Преобразование Фурье
- 1.21 Преобразование Лапласа
- 1.22 Преобразование Лежандра
- 1.23 Гомологии и когомологии
- 1.24 Двойственность в алгебраической и арифметической геометрии
- 1.25 Двойственность в арифметике
- 1.26 Другие двойственности
- 1.27 Полный текст статьи:
- 2 Двойственность (математика) – Arc.Ask3.Ru
Двойственность (математика)
-
Двойственность в математике
- Двойственность преобразует понятия, теоремы или структуры в другие понятия, теоремы или структуры.
- Двойственность часто использует операцию инволюции.
- Двойственность может быть самодвойственной, как в теореме Дезарга.
-
Примеры двойственности
- Дополнение подмножества: дополнение подмножества является инволюцией.
- Двойной конус: двойной конус содержит исходный набор, но не является инволюцией.
- Двойственное векторное пространство: двойственное векторное пространство изоморфно конечномерным векторным пространствам.
-
Теория Галуа
- Теория Галуа связывает группы Галуа с промежуточными полями.
- Расширение промежуточных полей приводит к включению групп Галуа.
-
Двойственность, изменяющая порядок
- Двойственный набор частично упорядоченного множества содержит тот же основной набор, но с обратным соотношением.
- Преобразование двойственности изменяет порядок элементов.
-
Двойственность, обращающая вспять измерения
- Двойственность платоновых тел: куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, тетраэдр самодвойственен.
- Двойственный многогранник формируется из центральных точек граней первичного многогранника.
-
Двойственность многогранников
- Любой выпуклый многогранник соответствует двойственному многограннику.
- Двойственность сохраняет частоту падений и является инволюцией.
- Двойственные многогранники имеют одинаковую комбинаторную структуру.
-
Двойственность графов
- Из любого трехмерного многогранника можно сформировать плоский граф.
- Двойной граф имеет одну вершину для каждой грани и одно ребро для каждых двух смежных граней.
- Двойственность графов на поверхностях также является инволюцией.
-
Двойственность в теории оптимизации
- Линейная программа имеет двойственную задачу с тем же оптимальным решением.
- Переменные в двойной задаче соответствуют ограничениям в основной задаче.
-
Двойственность в логике и теории множеств
- Функции и отношения считаются двойственными, если их отрицания эквивалентны.
- Выполнимость и валидность двойственны.
- Операторы ∧ и ∨ двойственны.
- В модальной логике операторы □ и ◊ двойственны.
- Теоретико-множественное объединение и пересечение двойственны.
-
Двудуальный
- Дуал дуального часто идентичен оригиналу.
- В других случаях двудуальное не тождественно первичному.
- В векторных пространствах существует каноническая оценочная карта.
-
Двойные объекты
- Группа двойственностей может быть описана через морфизмы.
- Всегда существует отображение от X к бидуальному.
-
Пересмотр двойственных векторных пространств
- Построение дуального векторного пространства V∗ = Hom(V, K).
- Отображение V → V** всегда инъективно и сюръективно при конечной размерности V.
- Изоморфизмы V и V∗ эквивалентны невырожденным билинейным формам.
- Внутренние продуктовые пространства используются в римановой геометрии и звезде Ходжа.
-
Двойственность в проективной геометрии
- В проективных плоскостях существуют геометрические преобразования, преобразующие точки в прямые и линии в точки.
- Двойственность возникает из дуального векторного пространства, где точки соответствуют одномерным подпространствам, а линии — двумерным.
- Билинейная форма отождествляет проективную плоскость с R^2.
-
Топологические векторные пространства и гильбертовы пространства
- В топологических векторных пространствах существует рефлексивное пространство, которое канонически изоморфно своему бидуальному.
- Гильбертовы пространства являются рефлексивными банаховыми пространствами.
- Lp-пространства не являются рефлексивными, но их двойственные Lq-пространства рефлексивны.
-
Другие двойные объекты
- Двойная решетка решетки L задается линейными функциями, преобразующими точки решетки в целые числа.
- Двойственность Понтрягина локально компактных топологических групп задается непрерывными групповыми гомоморфизмами.
-
Две категории и сопряженные функторы
- Двойственность между категориями C и D эквивалентна контравариантному функтору.
- Противоположные категории могут не иметь внутреннего значения, что делает дуальность дополнительным понятием.
- Категория, эквивалентная своей двойственности, называется самодвойственной.
-
Пространства и функции
- Двойственность Гельфанда связывает коммутативные C*-алгебры с компактными хаусдорфовыми пространствами.
- В алгебраической геометрии существует двойственность между коммутативными кольцами и аффинными схемами.
- Некоммутативная геометрия изучает некоммутативные C*-алгебры как функции в воображаемом пространстве.
-
Соединения Галуа
- Двойственность, соблюдающая рассматриваемые порядки, известна как связь Галуа.
- Пример: стандартная двойственность в теории Галуа.
-
Двойственность Понтрягина
- Двойственность Понтрягина дает двойственность категории локально компактных абелевых групп.
- Группа символов, заданная непрерывными групповыми гомоморфизмами, может быть наделена компактно-открытой топологией.
- Дискретные группы соответствуют компактным абелевым группам, конечные группы — конечным группам.
-
Преобразование Фурье
- Преобразование Фурье переключает между функциями в векторном пространстве и их двойственными.
- Преобразование заменяет операции умножения и свертки на функциональных пространствах.
- Концептуальное объяснение получено с помощью двойственности Понтрягина.
-
Преобразование Лапласа
- Аналогично преобразованию Фурье, заменяет операторы умножения на многочлены линейными дифференциальными операторами.
-
Преобразование Лежандра
- Важная аналитическая двойственность, переключает скорости в лагранжевой механике и импульсы в гамильтоновой механике.
-
Гомологии и когомологии
- Теоремы о двойственности показывают, что определенные объекты являются двойственными пространствами других объектов.
- Двойственность Пуанкаре задается спариванием сингулярных когомологий с C-коэффициентами.
-
Двойственность в алгебраической и арифметической геометрии
- Двойственность справедлива для гладких проективных многообразий над отделимо замкнутым полем.
- Двойственность Вердье использует когомологии пересечений.
- Двойственность Серра применима к когомологиям когерентных пучков.
-
Двойственность в арифметике
- Конечные когомологии конечных, локальных и глобальных полей допускают сходные сочетания.
- Абсолютная группа Галуа конечного поля изоморфна предконечному завершению Z.
-
Другие двойственности
- Сопряженный функтор, автономная категория, выпуклое тело и полярное тело.
- Двойственное абелево многообразие, двойная основа, дуализм (теория категорий).
- Двойной код, двойственность (электротехника), двойственность (оптимизация).
- Модуль дуализации, дуализирующий пучок, двойная решетка, двойная норма.
- Двойственные числа, двойная система, двойственность Кошуля, двойной Лэнглендз.
- Линейное программирование#Двойственность, список двойственностей, двойственность Матлиса, двойственность Петри, двойственность Понтрягина, S-двойственность, T-двойственность, зеркальная симметрия.