Оглавление
Дзета-функция Виттена
-
Определение дзета-функции Виттена
- Дзета-функция Виттена связана с корневой системой и кодирует степени неприводимых представлений группы Ли.
- Введена Доном Загье и названа в честь Эдварда Виттена.
-
Примеры дзета-функций Виттена
- ζSU(2)(s) = ζ(s), дзета-функция Римана.
- ζSU(3)(s) = ∑x=1∞∑y=1∞1/(xy(x+y)/2)s.
-
Абсцисса сходимости
- Для простых и односвязных групп Ли абсцисса сходимости равна r/κ, где r — ранг, κ — количество положительных корней.
- Теорема принадлежит Алексу Любоцки и Майклу Ларсену, новое доказательство дано Йокке Хясой и Александром Стасински.
-
Особенности и значения дзета-функции SU(3)
- ζSU(3) абсолютно сходится в {s ∈ C, ℜ(s) > 2/3} и может быть мероморфно расширена в C.
- Особенности заключаются в {2/3} ∪ {1/2 − k, k ∈ N}, все особенности являются простыми полюсами.
- Значения ζSU(3)(s) хорошо определены для всех целых чисел и вычислены Кадзухиро Онодэрой.
-
Значения ζSU(3)(a)
- Для a ∈ N∗, ζSU(3)(a) = 2a+2/(1+(-1)^a2)∑k=0[a/2] (2a-2k-1)/(a-1)ζ(2k)ζ(3a-k).
- Если a нечетно, ζSU(3)(−a) имеет простой ноль, ζSU(3)'(−a) = 2−a+1(a!)2/(2a+1)!ζ′(−3a-1) + 2−a+2∑k=0(a-1)/2 (a2k)ζ(−a-2k)ζ′(−2a+2k).
- Если a четно, ζSU(3)(−a) имеет нулевой порядок 2 около s = −a, ζSU(3)”(−a) = 2−a+2∑k=0a/2 (a2k)ζ′(−a-2k)ζ′(−2a+2k).