Оглавление
- 1 Однородное пространство
- 1.1 Определение однородного пространства
- 1.2 Определение через антураж
- 1.3 Фундаментальная система окружения
- 1.4 Пример с метрическими пространствами
- 1.5 Определение через псевдометрические системы
- 1.6 Однородное определение покрытия
- 1.7 Однородные пространства
- 1.8 Униформизуемые пространства
- 1.9 Равномерная непрерывность
- 1.10 Полнота
- 1.11 Завершение однородного пространства
- 1.12 Определение однородной структуры
- 1.13 Хаусдорфовость и изоморфизм
- 1.14 Примеры однородных структур
- 1.15 История и рекомендации
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 Единое пространство
Однородное пространство
-
Определение однородного пространства
- Однородное пространство — это множество с дополнительной структурой, используемой для определения однородных свойств.
- Обобщает метрические пространства и топологические группы.
- Формализует понятия относительной близости и сомкнутости точек.
-
Определение через антураж
- Антураж — это система окрестностей, удовлетворяющая определенным аксиомам.
- Включает фильтр на множестве пар точек.
- Антураж U[x] — это множество точек, близких к x.
-
Фундаментальная система окружения
- Фундаментальная система окружения — это набор окружений, содержащий каждое окружение из Φ.
- Каждое однородное пространство имеет фундаментальную систему окружения.
-
Пример с метрическими пространствами
- В метрических пространствах множества Ua образуют фундаментальную систему окружения.
- x и y Ua-закрыты, если расстояние между ними не больше a.
-
Определение через псевдометрические системы
- Однородные пространства могут быть определены через псевдометрические системы.
- Обратные изображения Ua образуют фундаментальную систему окружения.
- Однородность, определяемая семейством псевдометрических данных, является наименьшей верхней границей.
-
Однородное определение покрытия
- Однородное пространство — это набор X с однородными покрытиями.
- Однородные покрытия образуют фильтр при заказе по звездочке уточнения.
- Однородное покрытие P <∗ Q, если для каждого A ∈ P существует U ∈ Q такое, что A ∩ B ≠ ∅ и B ⊆ U.
-
Однородные пространства
- Однородные пространства определяются через однородные покрытия.
- Однородные покрытия образуют однородное пространство.
- Топология однородного пространства определяется через антуражи.
-
Униформизуемые пространства
- Топологическое пространство называется униформизуемым, если существует однородная структура, совместимая с топологией.
- Униформизуемые пространства являются полностью правильными и хаусдорфовыми.
- Однородность, совместимая с топологией, может быть определена через непрерывные вещественнозначные функции.
-
Равномерная непрерывность
- Равномерно непрерывные функции сохраняют однородные свойства.
- Равномерно непрерывные функции являются непрерывными по отношению к индуцированным топологиям.
- Однородные пространства образуют категорию с равномерными изоморфизмами и вложениями.
-
Полнота
- Однородные пространства могут быть полными, если все фильтры Коши сходятся.
- Компактные хаусдорфовы пространства являются полными однородными пространствами.
- Полностью однородные пространства обладают свойством расширения равномерно непрерывных функций.
-
Завершение однородного пространства
- Каждое однородное пространство имеет хаусдорфово завершение.
- Завершение Хаусдорфа уникально с точностью до изоморфизма.
- Карта завершения может быть определена через минимальные фильтры Коши.
-
Определение однородной структуры
- Однородная структура определяется как множество пар минимальных фильтров Коши, имеющих общий небольшой набор.
- Декорации формируют фундаментальную систему окружения.
- Набор i(X) является плотным подмножеством Y.
-
Хаусдорфовость и изоморфизм
- Если X является Хаусдорфом, i является изоморфизмом на i(X).
- i(X) всегда является Хаусдорфовым и называется однородным пространством Хаусдорфа, связанным с X.
-
Примеры однородных структур
- Пример с метриками: d1(x,y) = |x-y| и d2(x,y) = |ex-ey|.
- Топологическая группа G становится однородным пространством при определении антуража как набора, содержащего район из идентификационного элемента.
-
История и рекомендации
- Андре Вейль дал первое определение однородной структуры в 1937 году.
- Николас Бурбаки и Джон Тьюки внесли значительный вклад в развитие теории.
- Рекомендации включают книги Бурбаки, Энгелькинга, Исбелла, Джеймса и Тьюки.