Элементарный симметричный многочлен
-
Элементарные симметричные многочлены
- Элементарные симметричные многочлены являются базовыми строительными блоками для симметричных многочленов.
- Любой симметричный многочлен может быть выражен как многочлен от элементарных симметричных многочленов.
- Существует один элементарный симметричный многочлен степени d от n переменных для каждого натурального числа d ≤ n.
-
Определение и примеры
- Элементарные симметричные многочлены определяются как ek(X1, …, Xn) для k = 1, …, n.
- Для каждого натурального числа k, меньшего или равного n, существует ровно один элементарный симметричный многочлен степени k от n переменных.
- Примеры: для n = 1, 2, 3, 4.
-
Свойства и применение
- Элементарные симметричные многочлены появляются при расширении линейной факторизации монического многочлена.
- Характеристический многочлен квадратной матрицы является примером применения формул Виеты.
- Множество элементарных симметричных многочленов порождает кольцо симметричных многочленов от n переменных.
-
Фундаментальная теорема о симметричных многочленах
- Для любого коммутативного кольца A, кольцо симметричных многочленов от переменных X1, …, Xn с коэффициентами в A изоморфно целочисленному кольцу многочленов Z[e1(X1, …, Xn), …, en(X1, …, Xn)].
- Каждый симметричный многочлен P(X1, …, Xn) имеет уникальное представление в виде многочлена от элементарных симметричных многочленов.
-
Доказательство фундаментальной теоремы
- Теорема может быть доказана для симметричных однородных многочленов с помощью двойной индукции.
- Общий случай разбиения произвольного симметричного многочлена на его однородные компоненты.
- Альтернативное доказательство использует лексикографическое упорядочение одночленов и разбиения на d.
-
Уникальность выражения
- Выражение уникально, что означает линейную независимость всех произведений eλt (X1, …, Xn) элементарных симметричных многочленов.
- Лемма показывает, что все произведения имеют разные ведущие одночлены.
-
Доказательство линейной независимости
- Если нетривиальная линейная комбинация eλt (X1, …, Xn) равна нулю, то вклад с наибольшим ведущим одночленом не может быть отменен другими вкладами.
- Это приводит к противоречию.
-
Связанные темы
- Симметричный многочлен
- Полный однородный симметричный многочлен
- Многочлен Шура
- Тождества Ньютона
- Неравенства Ньютона
- Неравенство Маклорина
- Главная теорема Мак-Магона
- Симметричная функция
- Теория представлений