Оглавление
- 1 Элементарный симметричный многочлен
- 1.1 Элементарные симметричные многочлены
- 1.2 Определение и примеры
- 1.3 Свойства
- 1.4 Кольцо симметричных многочленов
- 1.5 Фундаментальная теорема о симметричных многочленах
- 1.6 Альтернативное доказательство
- 1.7 Уникальность выражения
- 1.8 Доказательство линейной независимости
- 1.9 Связанные темы
- 1.10 Полный текст статьи:
- 2 Элементарный симметричный полином – Arc.Ask3.Ru
Элементарный симметричный многочлен
-
Элементарные симметричные многочлены
- Базовые строительные блоки для симметричных многочленов
- Любой симметричный многочлен можно выразить через элементарные симметричные многочлены
- Элементарные симметричные многочлены степени d от n переменных образуют сумму всех произведений d различных переменных
-
Определение и примеры
- Элементарные симметричные многочлены определяются как ek(X1, …, Xn) для k = 1, …, n
- Примеры для n = 1, 2, 3, 4
-
Свойства
- Элементарные симметричные многочлены появляются в линейной факторизации монического многочлена
- Формулы Виеты связывают корни и коэффициенты многочлена
- Характеристический многочлен квадратной матрицы использует элементарные симметричные многочлены для вычисления коэффициентов
-
Кольцо симметричных многочленов
- Кольцо симметричных многочленов от n переменных порождается элементарными симметричными многочленами
- Кольцо симметричных многочленов с целыми коэффициентами равно целочисленному кольцу многочленов
-
Фундаментальная теорема о симметричных многочленах
- Каждый симметричный многочлен имеет уникальное представление через элементарные симметричные многочлены
- Теорема доказывается индукцией по числу переменных и степени однородного многочлена
-
Альтернативное доказательство
- Доказательство использует лексикографическое упорядочение одночленов и разбиения на d
- Лемма утверждает, что главный член eλt (X1, …, Xn) равен X λ
- Индукция по ведущему одночлену показывает, что любой ненулевой однородный симметричный многочлен может быть записан как многочлен от элементарных симметричных многочленов
-
Уникальность выражения
- Выражение уникально, что означает линейную независимость всех произведений eλt (X1, …, Xn) элементарных симметричных многочленов.
- Лемма показывает, что все произведения имеют разные ведущие одночлены.
-
Доказательство линейной независимости
- Если нетривиальная линейная комбинация eλt (X1, …, Xn) равна нулю, то вклад с наибольшим ведущим одночленом не может быть отменен другими вкладами.
- Это приводит к противоречию.
-
Связанные темы
- Симметричный многочлен
- Полный однородный симметричный многочлен
- Многочлен Шура
- Тождества Ньютона
- Неравенства Ньютона
- Неравенство Маклорина
- Главная теорема Мак-Магона
- Симметричная функция
- Теория представлений