Оглавление
Эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных
-
Классификация PDE
- Линейные PDE второго порядка классифицируются как эллиптические, гиперболические или параболические.
-
Каноническая форма эллиптических уравнений
- Уравнения с B^2-AC=0 называются параболическими, а с B^2-AC>0 – гиперболическими.
- Простейшие примеры эллиптических уравнений – уравнения Лапласа и Пуассона.
- Любое другое эллиптическое уравнение можно привести к канонической форме через изменение переменных.
-
Качественное поведение решений
- Эллиптические уравнения не имеют характеристических кривых, что делает их подходящими для описания состояний равновесия.
- Параболические и гиперболические уравнения имеют характеристики, описывающие распространение информации.
-
Вывод канонической формы
- Для эллиптических уравнений с двумя переменными каноническая форма имеет вид uxx+uxy+uyy+…=0.
- Преобразование PDE в каноническую форму включает замену переменных и решение системы уравнений.
-
Эллиптические уравнения в более высоких измерениях
- В общем случае уравнение в частных производных с n переменными не может быть сведено к простой канонической форме.
Полный текст статьи: