Оглавление
Эпиграф (математика)
-
Определение эпиграфа функции
- Эпиграф функции – это множество всех точек (x,r) в пространстве X×R, где r>f(x).
- Эпиграф является подмножеством X×R, а не X×[−∞,∞], чтобы избежать проблем с векторными пространствами.
-
Связь с графиком и строгим эпиграфом
- Эпиграф и график функции всегда непересекаются, а строгий эпиграф является подмножеством эпиграфа и графика.
- Эпиграф связан с графиком и строгим эпиграфом через равенство и неравенство.
-
Восстановление функций по эпиграфам
- Функция тождественно равна бесконечности, если эпиграф пуст.
- Функция может быть восстановлена по эпиграфу, даже если она принимает ±∞ как значение.
- Формула для восстановления значения функции по эпиграфу основана на пересечении эпиграфа с вертикальной линией через точку.
-
Взаимосвязи между свойствами функций и их эпиграфами
- Выпуклая функция имеет выпуклый эпиграф, а аффинная функция имеет полупространственный эпиграф.
- Функция является нижестоящей полунепрерывной, если ее эпиграф замкнут.
Полный текст статьи: