Оглавление
- 1 Formal power series
- 1.1 Формальные ряды и формальные степенные ряды
- 1.2 Алгебраические операции над формальными степенными рядами
- 1.3 Кольцо формальных степенных рядов
- 1.4 Топологическая структура кольца формальных степенных рядов
- 1.5 Топологическая структура формальных степенных рядов
- 1.6 Альтернативные топологии
- 1.7 Универсальное свойство формальных степенных рядов
- 1.8 Операции над формальными степенными рядами
- 1.9 Формальные степенные ряды
- 1.10 Композиция и обратная композиция
- 1.11 Формальная дифференциация и антидифференциация
- 1.12 Алгебраические свойства
- 1.13 Топологические свойства
- 1.14 Приложения
- 1.15 Интерпретация как функции
- 1.16 Обобщения
- 1.17 Формальные ряды Лорана
- 1.18 Топологическая структура
- 1.19 Формальный остаток
- 1.20 Правила математического анализа
- 1.21 Формула инверсии Лагранжа
- 1.22 Обобщения
- 1.23 Степенной ряд по нескольким переменным
- 1.24 Некоммутирующие переменные
- 1.25 На полукольце
- 1.26 Определение формальных степенных рядов
- 1.27 Подмножества и операции
- 1.28 Применение в информатике
- 1.29 Замена набора индексов
- 1.30 Свойства R((G))
- 1.31 Примеры и связанные темы
- 1.32 Дополнительные ресурсы
- 1.33 Полный текст статьи:
- 2 Формальный степенной ряд
Formal power series
-
Формальные ряды и формальные степенные ряды
- Формальные ряды — это бесконечные суммы, рассматриваемые независимо от сходимости.
- Формальные степенные ряды — это формальные ряды с коэффициентами, которые могут быть числами или элементами кольца.
- Формальные степенные ряды могут быть представлены как обобщение полиномов с бесконечным числом членов.
-
Алгебраические операции над формальными степенными рядами
- Формальные степенные ряды можно складывать, вычитать, умножать и делить, как полиномы.
- Коэффициенты формальных степенных рядов могут быть извлечены с помощью оператора [Xn].
- Формальные степенные ряды образуют кольцо, обозначаемое R[[x]].
-
Кольцо формальных степенных рядов
- Кольцо формальных степенных рядов над кольцом R обозначается R[[x]].
- Кольцо формальных степенных рядов можно рассматривать как завершение кольца полиномов R[x] с определенной метрикой.
- Кольцо формальных степенных рядов имеет структуру топологического кольца и полного метрического пространства.
-
Топологическая структура кольца формальных степенных рядов
- Кольцо формальных степенных рядов можно определить как множество бесконечных последовательностей элементов кольца R.
- Топологическая структура кольца формальных степенных рядов определяется через сходимость и метрику.
- Сходимость определяется как стабилизация коэффициентов для фиксированных степеней переменной X.
-
Топологическая структура формальных степенных рядов
- Формальные степенные ряды образуют топологическое кольцо.
- Топология позволяет использовать бесконечные суммы и произведения.
- Топология обеспечивает сходимость бесконечных сумм, если последовательность их членов сходится к 0.
-
Альтернативные топологии
- В некоторых случаях можно использовать более грубую топологию для сходимости выражений.
- В кольце формальных степенных рядов с несколькими переменными топология зависит от выбора переменной.
- Стандартная топология для формальных степенных рядов — это I-адическая топология.
-
Универсальное свойство формальных степенных рядов
- Формальные степенные ряды обладают универсальным свойством: для любого коммутативного ассоциативного кольца S и идеала I в S существует уникальный гомоморфизм Φ: R[[X]] → S.
-
Операции над формальными степенными рядами
- Формальные степенные ряды можно возводить в степени.
- В случае комплексных коэффициентов, комплексные степени определяются через экспоненциальные и логарифмические ряды.
- Формальные степенные ряды имеют мультипликативные обратные, если их постоянный коэффициент обратим.
- В полях формальные степенные ряды являются дискретными valuation кольцами с параметром X.
- Вычисление частных формальных степенных рядов возможно через произведение и обратное.
- Оператор извлечения коэффициентов извлекает коэффициент при Xm.
- Композиция формальных степенных рядов определяется через расширение степеней.
-
Формальные степенные ряды
- Формальные степенные ряды определяются как многочлены, усеченные при x^n.
- Коэффициенты зависят от конечного числа коэффициентов f(X) и g(X).
- Серия для g(f(X)) сходится в топологии R[[X]].
-
Композиция и обратная композиция
- Композиция действительна только при отсутствии постоянного члена у f(X).
- Обратная композиция существует, если f0 = 0 и f1 обратим.
- Коэффициенты g могут быть найдены рекурсивно.
-
Формальная дифференциация и антидифференциация
- Формальная производная определяется как Df = f’ для f в R[[X]].
- Формальная антидифференциация определяется как f = f’ для f в R[[X].
-
Алгебраические свойства
- R[[X]] является ассоциативной алгеброй над R.
- Радикал Якобсона и максимальные идеалы аналогичны R.
- R[[X]] удовлетворяет подготовительной теореме Вейерштрасса.
-
Топологические свойства
- R[[X]] является завершенным метрическим пространством.
- R[[X]] компактно, если R конечно.
-
Приложения
- Формальные степенные ряды используются в теории чисел и комбинаторике.
- Примеры включают нахождение выражения замкнутой формы для чисел Фибоначчи.
-
Интерпретация как функции
- Формальные степенные ряды могут быть интерпретированы как функции.
- Определены нули и полюса, интегральная теорема Коши и другие свойства.
-
Обобщения
- Формальные ряды Laurent допускают конечное число членов отрицательной степени.
- Определено умножение таких рядов аналогично формальным степенным рядам.
-
Формальные ряды Лорана
- Формальные ряды Лорана образуют кольцо над R, обозначаемое R((X)).
- Кольцо R((X)) равно локализации кольца R[[X]] формальных степенных рядов.
- Если R = K является полем, то K((X)) также является полем.
-
Топологическая структура
- Кольцо R((X)) может быть наделено топологической структурой путем введения метрики d(f, g) = 2−ord(f − g).
- Формальное дифференцирование для формальных рядов Лорана определяется естественным образом.
-
Формальный остаток
- Формальный остаток Res(f) определяется как коэффициент X−1 в f.
- Карта Res является K-линейной и удовлетворяет точной последовательности.
-
Правила математического анализа
- Res(f′) = 0, Res(fg′) = −Res(f′g), Res(f′/f) = ord(f), Res((g ∘ f)f′) = ord(f)Res(g).
- [Xn]f(X) = Res(X−n−1f(X)).
-
Формула инверсии Лагранжа
- Любой формальный ряд f ∈ K[[X]] при f0 = 0 и f1 ≠ 0 имеет обратный g ∈ K[[X]].
- Существует формула обращения Лагранжа для коэффициентов gn и f−k.
-
Обобщения
- Формула обращения Лагранжа обобщается на C((X))-модули XαC((X)).
- Комплексные степени f / X и g / X связаны через формулу.
-
Степенной ряд по нескольким переменным
- Формальный степенной ряд может быть определен в любом количестве неопределимых величин.
- Топология на R[[X]] такова, что последовательность сходится, если стабилизируется коэффициент для каждого мономиала.
- Операции и универсальное свойство обобщаются на случай нескольких переменных.
-
Некоммутирующие переменные
- Случай с несколькими переменными обобщается на некоммутирующие переменные.
- Формальные степенные ряды над R образуют кольцо Магнуса над R.
-
На полукольце
- Формальный степенной ряд над полукольцом S поддерживается на языке Σ∗ и обозначается S⟨⟨Σ∗⟩⟩.
-
Определение формальных степенных рядов
- Формальные степенные ряды состоят из отображений r: Σ∗ → S, где Σ∗ — свободный моноид, порожденный множеством Σ.
- Элементы формальных степенных рядов могут быть записаны как формальные суммы, где (r, w) обозначает значение r при слове w ∈ Σ∗.
- Коэффициенты r называются элементами (r, w) ∈ S.
-
Подмножества и операции
- Подмножество S⟨Σ∗⟩ состоит из рядов с конечной опорой и называется многочленами.
- Сумма, произведение и скалярное произведение определяются для элементов S⟨Σ∗⟩.
- (S⟨Σ∗⟩, +, ⋅, 0, ε) и (S⟨Σ∗⟩, +, ⋅, 0, ε) являются полукольцами.
-
Применение в информатике
- Формальные степенные ряды используются для моделирования поведения взвешенных автоматов.
- Коэффициенты (r, w) принимаются за вес пути с меткой w в автоматах.
-
Замена набора индексов
- Пусть G — упорядоченная абелева группа с полным упорядочением <.
- Пусть I — хорошо упорядоченное подмножество G.
- R((G)) — кольцо формальных степенных рядов на G.
-
Свойства R((G))
- Если R — поле, то R((G)) также поле.
- Если R — упорядоченное поле, можно упорядочить R((G)) по ведущему коэффициенту.
- Если G — делимая группа и R — действительное замкнутое поле, R((G)) — действительное замкнутое поле.
-
Примеры и связанные темы
- Ряды Белла используются для изучения свойств мультипликативных арифметических функций.
- Формальные группы используются для определения абстрактного группового закона.
- Ряды Пюизе являются продолжением формальных рядов Лорана с дробными показателями.
- Рациональный ряд.
-
Дополнительные ресурсы
- Николя Бурбаки: Алгебра, IV, §4.
- W. Куич: Полукольца и формальные степенные ряды: их значение для формальных языков и теории автоматов.
- Дросте, М., и Куич, У. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам.