Оглавление
Гармоническая карта
-
Основы теории гармонических карт
- Теория гармонических карт изучает отображения между римановыми многообразиями, которые минимизируют энергию Дирихле.
- Илс и Сэмпсон доказали существование и единственность гармонических карт в гомотопических классах.
-
Важность и следствия
- Теория имеет фундаментальное значение для изучения геометрии и физики, включая квантовую теорию поля и вычислительную гидродинамику.
- Результаты Илс и Сэмпсона были адаптированы для изучения краевых задач Дирихле и квантования энергии.
-
Особенности и слабые решения
- После работ Илс и Сэмпсона возникли вопросы о необходимости предположения о кривизне сечения.
- Майкл Струве доказал существование и единственность слабых решений в двумерном случае.
-
Формула Бохнера и жесткость
- Формула Бохнера адаптирована для доказательства жесткости гармонических карт.
- Юм-Тонг Сиу использовал формулу Бохнера для доказательства гипотезы Ходжа в контексте отрицательной кривизны.
-
Проблемы и приложения
- Теория имеет приложения в теоретической физике и вычислительной гидродинамике.
- Существуют вопросы о построении гармонических карт и их связи с квантовой теорией поля.
-
Гармонические отображения между метрическими пространствами
- Интеграл энергии может быть сформулирован для функций между метрическими пространствами, а не только между римановыми многообразиями.