Оглавление
- 1 Голономия
- 1.1 Определение голономии
- 1.2 Примеры голономии
- 1.3 Группы голономии
- 1.4 Голономия в векторном расслоении
- 1.5 Голономия в главном пучке
- 1.6 Связки голономии
- 1.7 Монодромия
- 1.8 Локальная и бесконечно малая голономия
- 1.9 Локальная группа голономии
- 1.10 Теорема Эмброуза–Сингера
- 1.11 Риманова голономия
- 1.12 Приводимая голономия и разложение де Рама
- 1.13 Классификация Бергера
- 1.14 Специальная голономия и спиноры
- 1.15 Приложения
- 1.16 Аффинные группы голономии
- 1.17 Критерии Бергера
- 1.18 Классификация Меркулова и Шваххефера
- 1.19 Сложные аффинные голономии
- 1.20 Этимология слова “голономия”
- 1.21 Полный текст статьи:
- 2 Голономия
Голономия
-
Определение голономии
- Голономия соединения на гладком многообразии — это степень, в которой параллельный перенос по замкнутым контурам не сохраняет передаваемые геометрические данные.
- Голономия является общим геометрическим следствием кривизны соединения.
- Для плоских соединений голономия является разновидностью монодромии и является глобальным понятием.
- Для криволинейных соединений голономия обладает нетривиальными локальными и глобальными возможностями.
-
Примеры голономии
- Голономия связи Леви-Чивиты в римановой геометрии.
- Голономии связей в векторных расслоениях.
- Голономии связей Картана.
- Голономии связей в главных расслоениях.
-
Группы голономии
- Голономия соединения может быть отождествлена с группой Ли, группой голономии.
- Голономия тесно связана с кривизной соединения через теорему Эмброуза–Сингера.
- Голономия была введена Эли Картаном для изучения симметричных пространств.
-
Голономия в векторном расслоении
- Голономия определяется через параллельные транспортные карты.
- Группа голономии зависит от базовой точки только до сопряжения в GL(k, R).
- Голономия является плоской тогда и только тогда, когда группа голономии тривиальна.
-
Голономия в главном пучке
- Голономия определяется через горизонтальные подъемные силы.
- Группа голономии зависит от базовой точки только до сопряжения в G.
-
Связки голономии
- Голономное расслоение H(p) является основным расслоением для группы голономии.
- Соединение ограничивается соединением на H(p).
- Голономное расслоение эквивалентно преобразуется внутри основного расслоения.
-
Монодромия
- Группа монодромии связности действует на частное расслоение H(p)/Холp0(ω).
- Существует сюръективный гомоморфизм φ: π1 → Холp(ω)/Холp0(ω), где φ(π1(M)) действует на H(p)/Холp0(ω).
-
Локальная и бесконечно малая голономия
- Голономия может быть ограничена слоем над открытым подмножеством M.
- Локальная группа голономии определяется через вложенные открытые множества.
- Локальная группа голономии является связная подгруппой ограниченной группы голономии.
-
Локальная группа голономии
- Зависит только от точки p, а не от выбора последовательности Uk.
- Эквивариантна по отношению к трансляции элементами структурной группы G.
- Не очень хорошо работает как глобальный объект, размер может быть непостоянным.
-
Теорема Эмброуза–Сингера
- Связывает голономию соединения с формой кривизны.
- Кривизна возникает при движении вокруг бесконечно малого параллелограмма.
- Кривизна является дифференциалом действия голономии в тождестве группы голономии.
-
Риманова голономия
- Группа голономий связности Леви-Чивиты на касательном расслоении.
- “Общее” n-мерное риманово многообразие имеет O(n) или SO(n) голономию.
- Многообразия с голономией, являющейся собственной подгруппой O(n) или SO(n), обладают особыми свойствами.
-
Приводимая голономия и разложение де Рама
- Группа голономии действует на касательное пространство TxM.
- Действие может быть неприводимым или приводимым.
- Приводимое многообразие локально является декартовым произведением.
-
Классификация Бергера
- Полная классификация возможных групп голономий для односвязных римановых многообразий.
- Включает Sp(n)·Sp(1), G2, Spin(7), Spin(9) и другие.
- Все эти возможности реализуются в виде голономных групп римановых многообразий.
-
Специальная голономия и спиноры
- Многообразия со специальной голономией характеризуются наличием параллельных спиноров.
- Hol(ω) ∈ U(n) тогда и только тогда, когда M допускает ковариантно постоянное проективное чистое спинорное поле.
- Если M – спиновое многообразие, то Hol(ω) ∈ SU(n) тогда и только тогда, когда M допускает по крайней мере два линейно независимых параллельных чистых спинорных поля.
-
Приложения
- Теория струн: римановы многообразия с особой голономией важны для компактификации теории струн.
- Машинное обучение: вычисление голономии римановых многообразий используется для изучения структуры многообразий данных.
-
Аффинные группы голономии
- Группы, возникающие как голономии аффинных связей без кручения
- Неприводимые аффинные голономии классифицируются
-
Критерии Бергера
- Первый критерий: кривизна порождает алгебру голономии
- Второй критерий: соединение не должно быть локально симметричным
-
Классификация Меркулова и Шваххефера
- Полная классификация неприводимых аффинных голономий
- Связь с симметричными пространствами
-
Сложные аффинные голономии
- Связь с эрмитовыми и кватернионно-келеровыми симметричными пространствами
- Классификация сложных аффинных голономий
-
Этимология слова “голономия”
- Происхождение от греческого ὅλος и μορφή
- Значение “целостный закон”
- Корень “ном” означает “считать”