Оглавление
- 1 Группа чау-чау
- 1.1 Группы Чжоу
- 1.2 Рациональная эквивалентность и группы Чау-чау
- 1.3 Примеры рациональной эквивалентности
- 1.4 Кольцо для чаепития
- 1.5 Примеры
- 1.6 Группы Чоу и их поведение
- 1.7 Функциональность групп Чоу
- 1.8 Последовательность локализации
- 1.9 Примеры плоских откатов
- 1.10 Циклические карты
- 1.11 Отношение к К-теории
- 1.12 Предположения и гипотезы
- 1.13 Варианты и расширения
- 1.14 История
- 1.15 Алгебраические циклы и высшие K-группы
- 1.16 Теория пересечений
- 1.17 Теория Ходжа и сложная алгебраическая геометрия
- 1.18 Этальные когомологии
- 1.19 Примеры и гипотезы
- 1.20 Общие выводы
- 1.21 Полный текст статьи:
- 2 Группа Чоу
Группа чау-чау
-
Группы Чжоу
- Группы Чжоу алгебраического многообразия над полем являются аналогами гомологий топологического пространства.
- Элементы группы Чжоу формируются из подмногообразий аналогично симплициальным или клеточным гомологическим группам.
- Когда многообразие гладкое, группы Чжоу можно интерпретировать как группы когомологий.
-
Рациональная эквивалентность и группы Чау-чау
- Для схемы конечного типа над полем алгебраический цикл означает конечную линейную комбинацию подмногообразий с целыми коэффициентами.
- Группа Zi(X) от i-размерных циклов на X является свободной абелевой группой.
- Группа CHi(X) от i-размерных циклов на X является факторной группой по подгруппе циклов, рационально эквивалентных нулю.
-
Примеры рациональной эквивалентности
- В проективном пространстве рационально эквивалентные циклы определяются гиперповерхностями.
- На кривой рационально эквивалентные циклы определяются исчезающими локусами различных линейных пучков.
-
Кольцо для чаепития
- Когда схема X проходит гладко по полю k, группы Чжоу образуют кольцо.
- Произведение в кольце возникает из пересекающихся алгебраических циклов.
- Теория пересечений строит явный цикл, представляющий произведение [Y][Z] в кольце для чаепития.
-
Примеры
- Кольцо Чау-чау проективного пространства Pn над любым полем k является кольцом с одним элементом H.
- Для любых двух подмногообразий Y и Z дополняющего измерения в Pn и степени a и b соответственно, их продукт в кольце для чаепития равен Hn.
- Кольцо Чоу проективного расслоения P(E) может быть вычислено с использованием кольца приема пищи из X и классов Черна из E.
- Кольцо Чоу поверхности Хирцебруха можно вычислить с помощью формулы проективного расслоения.
-
Группы Чоу и их поведение
- Группы Чоу связаны с группами Морделла-Вейля для эллиптических кривых.
- Для комплексных чисел группы Чоу могут быть бесчисленными абелевыми группами.
-
Функциональность групп Чоу
- Для правильного морфизма схем существует гомоморфизм CHi(X) → CHi(Y).
- Для плоского морфизма существует гомоморфизм CHi(Y) → CHi+r(X).
-
Последовательность локализации
- Для схемы X и замкнутой подсхемы Z существует точная последовательность.
- Последовательность может быть расширена до мотивационных гомологических групп Бореля-Мура.
-
Примеры плоских откатов
- Разветвленные покрытия кривых приводят к факторизации с множественностью точек.
- Плоский откат точки α может быть семейством плоских разновидностей.
-
Циклические карты
- Существует гомоморфизм групп Чоу в гомологии Бореля-Мура для комплексных чисел.
- Для гладких комплексных проективных многообразий существует гомоморфизм в когомологии Делиня.
-
Отношение к К-теории
- Классы Черна обеспечивают связь между векторными расслоениями и группами Чоу.
- Теорема Гротендика-Римана-Роха показывает важность рациональной эквивалентности.
-
Предположения и гипотезы
- Теорема Морделла-Вейля подразумевает конечность групп Чоу для числовых полей.
- Гипотеза Блоха-Като предсказывает конечность групп Чоу и связь с L-функциями.
- Гипотеза Ходжа предсказывает изображение циклов из групп Чоу в сингулярные когомологии.
-
Варианты и расширения
- Бивариантная теория расширяет кольцо Чау-Чау на сингулярные многообразия.
- Арифметические группы Чау-Чау включают компонент Аракелова.
- Теория групп Чоу схем конечного типа распространяется на алгебраические пространства.
- Chow group стека необходима для виртуального фундаментального класса.
-
История
- Рациональная эквивалентность делителей изучалась с 19 века.
- Вэй-Лян Чоу доказал четкость произведения пересечений в 1956 году.
- Фултон и Макферсон заложили основы современных стандартов в 1970-х годах.
-
Алгебраические циклы и высшие K-группы
- Блох и Воеводский рассматривают алгебраические циклы и высшие K-группы.
- Воеводский исследует триангулированные категории мотивов над полем.
-
Теория пересечений
- Фултон изучает теорию пересечений.
- В разделе 19.1 рассматриваются основные понятия и результаты.
-
Теория Ходжа и сложная алгебраическая геометрия
- Вуазен исследует теорию Ходжа и сложную алгебраическую геометрию.
- В разделе 12.3.3 и 12.3.4 рассматриваются основные гипотезы и теоремы.
- В разделе 11.21 и 11.22 обсуждаются гипотезы и теоремы.
-
Этальные когомологии
- Делинь исследует этальные когомологии.
- В разделе 4.1.2 рассматриваются основные выводы.
-
Примеры и гипотезы
- В разделе 3.2 и 8.3.3 Фултон приводит примеры и гипотезы.
- В разделе 10.1 и 10.2 Вуазен формулирует теоремы.
-
Общие выводы
- В разделе 17 Фултон завершает главу.
- В разделе 5, 6, 8 Фултон рассматривает различные аспекты теории пересечений.