Группа кватернионов
-
Группа кватернионов Q8
- Неабелева группа восьмого порядка
- Изоморфна восьмиэлементному подмножеству кватернионов
- Имеет представление через групповую презентацию
-
Свойства группы кватернионов
- Все элементы i, j и k имеют четвертый порядок
- Группа гамильтонова, каждая подгруппа нормальная
- Центральная и коммутаторная подгруппа: {e, e¯}
-
Автоморфизмы и представления
- Внутренняя группа автоморфизмов: Q8/{e, e¯} изоморфна четырехгруппе V Клейна
- Полная группа автоморфизмов: S4, внешняя группа автоморфизмов: S3
- Пять классов сопряженности, пять неприводимых представлений
-
Матричные представления
- Двумерное представление: Q8 как подгруппа GL(2, C)
- Регулярное представительство: ρ: H → M(2, C)
- Представление через унитарные матрицы: ρ: Q8 → SU(2)
- Модульное представление: ρ: Q8 → SL(2, 3)
-
Приложения
- Важна в физике для описания состояний со спином 1/2
- Используется в теории групп и алгебре
-
Представление группы кватернионов
- Группа кватернионов переставляет восемь ненулевых векторов F32.
- Это представление дает вложение Q8 в симметричную группу S8.
-
Теория Галуа и группа кватернионов
- Ричард Дедекинд рассматривал поле боя Q[2,3] для связи группы кватернионов с теорией Галуа.
- Эрнст Витт опубликовал подход к группе кватернионов на основе теории Галуа в 1936 году.
- Ричард Дин показал, что группа кватернионов может быть реализована как группа Галуа Gal(T/Q) в 1981 году.
-
Обобщенная группа кватернионов
- Обобщенная группа кватернионов Q4n определяется представлением для целого числа n ≥ 2.
- Кокстер называет Q4n дициклической группой ⟨2,2,n⟩.
- Обобщенная группа кватернионов может быть реализована как подгруппа GL2(C) или как подгруппа единичных кватернионов.
-
Свойства обобщенных групп кватернионов
- Каждая абелева подгруппа обобщенной группы кватернионов является циклической.
- Конечная p-группа с этим свойством либо циклическая, либо обобщенная группа кватернионов.
- Конечная p-группа с уникальной подгруппой порядка p либо циклическая, либо 2-я группа, изоморфная обобщенной группе кватернионов.
-
Теорема Брауэра–Сузуки
- Группы, силовские 2-подгруппы которых являются обобщенными кватернионными, не могут быть простыми.
-
Терминология и дополнительные ресурсы
- Обобщенная группа кватернионов также называется дициклической группой порядка степени 2.
- Смотрите также 16-элементный, Бинарная тетраэдрическая группа, Алгебра Клиффорда, Дициклическая группа, Интегральный кватернион Гурвица, Список небольших групп.