Группа кватернионов

Группа кватернионов Группа кватернионов Q8 Неабелева группа восьмого порядка   Изоморфна восьмиэлементному подмножеству кватернионов   Имеет представление через групповую презентацию   Свойства группы […]

Группа кватернионов

  • Группа кватернионов Q8

    • Неабелева группа восьмого порядка  
    • Изоморфна восьмиэлементному подмножеству кватернионов  
    • Имеет представление через групповую презентацию  
  • Свойства группы кватернионов

    • Все элементы i, j и k имеют четвертый порядок  
    • Группа гамильтонова, каждая подгруппа нормальная  
    • Центральная и коммутаторная подгруппа: {e, e¯}  
  • Автоморфизмы и представления

    • Внутренняя группа автоморфизмов: Q8/{e, e¯} изоморфна четырехгруппе V Клейна  
    • Полная группа автоморфизмов: S4, внешняя группа автоморфизмов: S3  
    • Пять классов сопряженности, пять неприводимых представлений  
  • Матричные представления

    • Двумерное представление: Q8 как подгруппа GL(2, C)  
    • Регулярное представительство: ρ: H → M(2, C)  
    • Представление через унитарные матрицы: ρ: Q8 → SU(2)  
    • Модульное представление: ρ: Q8 → SL(2, 3)  
  • Приложения

    • Важна в физике для описания состояний со спином 1/2  
    • Используется в теории групп и алгебре  
  • Представление группы кватернионов

    • Группа кватернионов переставляет восемь ненулевых векторов F32.  
    • Это представление дает вложение Q8 в симметричную группу S8.  
  • Теория Галуа и группа кватернионов

    • Ричард Дедекинд рассматривал поле боя Q[2,3] для связи группы кватернионов с теорией Галуа.  
    • Эрнст Витт опубликовал подход к группе кватернионов на основе теории Галуа в 1936 году.  
    • Ричард Дин показал, что группа кватернионов может быть реализована как группа Галуа Gal(T/Q) в 1981 году.  
  • Обобщенная группа кватернионов

    • Обобщенная группа кватернионов Q4n определяется представлением для целого числа n ≥ 2.  
    • Кокстер называет Q4n дициклической группой ⟨2,2,n⟩.  
    • Обобщенная группа кватернионов может быть реализована как подгруппа GL2(C) или как подгруппа единичных кватернионов.  
  • Свойства обобщенных групп кватернионов

    • Каждая абелева подгруппа обобщенной группы кватернионов является циклической.  
    • Конечная p-группа с этим свойством либо циклическая, либо обобщенная группа кватернионов.  
    • Конечная p-группа с уникальной подгруппой порядка p либо циклическая, либо 2-я группа, изоморфная обобщенной группе кватернионов.  
  • Теорема Брауэра–Сузуки

    • Группы, силовские 2-подгруппы которых являются обобщенными кватернионными, не могут быть простыми.  
  • Терминология и дополнительные ресурсы

    • Обобщенная группа кватернионов также называется дициклической группой порядка степени 2.  
    • Смотрите также 16-элементный, Бинарная тетраэдрическая группа, Алгебра Клиффорда, Дициклическая группа, Интегральный кватернион Гурвица, Список небольших групп.  

Полный текст статьи:

Группа кватернионов

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх