Оглавление
- 1 Идеальная классная группа
- 1.1 Определение и свойства группы классов
- 1.2 История и происхождение
- 1.3 Определение и умножение
- 1.4 Свойства группы классов
- 1.5 Связь с группой единиц измерения
- 1.6 Примеры идеальных групп классов
- 1.7 Номера классов квадратичных полей
- 1.8 Пример нетривиальной группы классов
- 1.9 Норма и порядок класса
- 1.10 Теория поля классов
- 1.11 Дополнительные темы
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Идеальная классовая группа
Идеальная классная группа
-
Определение и свойства группы классов
- Группа классов алгебраического числового поля K — это фактор-группа JK / PK, где JK — группа дробных идеалов, PK — подгруппа главных идеалов.
- Группа классов измеряет, насколько уникальная факторизация не выполняется в кольце целых чисел из K.
- Порядок группы, который конечен, называется номером класса K.
-
История и происхождение
- Идеальные классовые группы изучались до формулировки идеи идеала.
- Эрнст Куммер исследовал препятствия для факторизации в кольцах, порожденных корнями из единицы.
- Ричард Дедекинд сформулировал концепцию идеала и объединил существующие примеры.
-
Определение и умножение
- Идеальные классы определяются как классы эквивалентности дробных идеалов.
- Умножение идеальных классов коммутативно и превращает множество дробных идеальных классов в абелеву группу.
-
Свойства группы классов
- Группа классов тривиальна тогда и только тогда, когда все идеалы R являются главными.
- Количество идеальных классов может быть бесконечным, но для колец алгебраических целых чисел оно всегда конечно.
- Вычисление группы классов сложно, но возможно для колец с малым дискриминантом.
-
Связь с группой единиц измерения
- Группа единиц измерения дедекиндовой области частично отвечает на вопрос о поведении идеалов.
- Неспособность групп быть тривиальными является мерой неспособности идеалов действовать как элементы кольца.
-
Примеры идеальных групп классов
- Кольца Z, Z[ω] и Z[i] имеют тривиальные группы классов.
- Кольцо многочленов k [X1, X2, X3, …] имеет счетное бесконечное множество идеальных классов.
-
Номера классов квадратичных полей
- Для d < 0 номер класса кольца R из целых алгебраических чисел Q(d) равен 1 для определенных значений d.
- При d > 0 неизвестно, существует ли бесконечно много полей Q(d) с классом № 1.
-
Пример нетривиальной группы классов
- Квадратичное целочисленное кольцо R = Z [√-5] имеет циклическую группу классов порядка 2.
-
Норма и порядок класса
- Норма N(x) должна разделить N(2) = 4 и N(1 + √-5) = 6.
- N(x) не может быть 1 или 2, так как это привело бы к противоречию.
- J2 = (2), что является основным, поэтому класс J имеет второй порядок.
-
Теория поля классов
- Теория классовых полей классифицирует абелевы расширения числовых полей.
- Поле класса Гильберта L числового поля K уникально и обладает свойствами: каждый идеал кольца целых чисел из K становится главным в L, L — расширение Галуа с группой Галуа, изоморфной идеальной группе классов K.
-
Дополнительные темы
- Формула номера класса и проблема с номером класса.
- Теорема Брауэра–Зигеля и список числовых полей с номером класса один.
- Основная идеальная область, алгебраическая K-теория, теория Галуа и последняя теорема Ферма.
- Узкая классовая группа и группа Пикара.
- Классная группа Аракелова.