Оглавление
- 1 Интеграл Лебега
- 1.1 Интеграл Лебега
- 1.2 История и развитие
- 1.3 Интуитивная интерпретация
- 1.4 Простые функции
- 1.5 Теория измерения
- 1.6 Элемент вычисления интеграла Римана
- 1.7 Современные подходы к измерению и интегрированию
- 1.8 Измеримые функции
- 1.9 Определение интеграла Лебега
- 1.10 Простые функции
- 1.11 Неотрицательные функции
- 1.12 Подписанные функции
- 1.13 С помощью неправильного интеграла Римана
- 1.14 Комплекснозначные функции
- 1.15 Интегрируемость по Лебегу
- 1.16 Область интегрирования
- 1.17 Ограничения интеграла Римана
- 1.18 Основные теоремы интеграла Лебега
- 1.19 Альтернативные формулировки
- 1.20 Ограничения интеграла Лебега
- 1.21 Оформление и идентификаторы
- 1.22 Оформление цитат и ссылок
- 1.23 Оформление библиографических описаний
- 1.24 Оформление и форматирование текста
- 1.25 Общие замечания
- 1.26 Теория внешних мер
- 1.27 Большой Рудин
- 1.28 Английский перевод
- 1.29 Полный текст статьи:
- 2 Интеграл Лебега
Интеграл Лебега
-
Интеграл Лебега
- Интеграл Лебега является более общим, чем интеграл Римана
- Он может интегрировать функции с разрывами
- Обладает лучшими аналитическими свойствами
-
История и развитие
- Интеграл Римана был предложен Бернхардом Риманом в XIX веке
- Интеграл Лебега был введен Анри Лебегом в первой половине XX века
-
Интуитивная интерпретация
- Интеграл Римана разбивает область на интервалы и суммирует площади прямоугольников
- Интеграл Лебега разбивает диапазон функции на горизонтальные “плиты”
-
Простые функции
- Интеграл Лебега можно определить через простые функции
- Простые функции обобщают ступенчатые функции интегрирования Римана
-
Теория измерения
- Теория меры была создана для абстракции длины подмножеств действительной прямой
- Интеграл Римана использует понятие длины, интеграл Лебега — нет
-
Элемент вычисления интеграла Римана
- Прямоугольник [a, b] × [c, d] используется для аппроксимации площади под кривой.
- Величина b − a — длина основания, d − c — высота прямоугольника.
-
Современные подходы к измерению и интегрированию
- Аксиоматичный подход к измерению и интегрированию.
- Мера μ определяется на множестве X подмножеств множества E.
-
Измеримые функции
- Функция f измерима, если прообраз каждого интервала вида (t, θ) находится в X.
- Набор измеримых функций замкнут при алгебраических операциях и точечных ограничениях.
-
Определение интеграла Лебега
- Интеграл Лебега определяется как предел аппроксимаций простыми функциями.
- Интеграл от неотрицательной функции определяется как высший предел аппроксимаций.
-
Простые функции
- Конечная линейная комбинация индикаторных функций называется измеримой простой функцией.
- Интеграл простой функции определяется как сумма произведений меры подмножества и его изображения под простой функцией.
-
Неотрицательные функции
- Интеграл от неотрицательной функции определяется как высший предел аппроксимаций простых функций.
- Интеграл может быть бесконечным для некоторых функций.
-
Подписанные функции
- Знаковые функции записываются как f = f+ − f-.
- Интеграл существует, если хотя бы один из интегралов от f+ и f- конечен.
-
С помощью неправильного интеграла Римана
- Интеграл Лебега можно определить как неправильный интеграл Римана от монотонно не увеличивающейся функции f∗.
- Интеграл интегрируемой по Лебегу функции определяется как разность интегралов от ее положительной и отрицательной частей.
-
Комплекснозначные функции
- Интеграл комплекснозначной функции определяется как сумма интегралов от ее действительной и мнимой частей.
-
Интегрируемость по Лебегу
- Функция интегрируема по Лебегу, если её абсолютное значение интегрируемо по Лебегу.
- Пример: индикаторная функция рациональных чисел 1Q интегрируема по Лебегу, но не по Риману.
-
Область интегрирования
- Интегрирование по Лебегу определяется как интегрирование по подмножествам относительно меры.
- Интеграл Римана интегрирует по ориентированным множествам.
-
Ограничения интеграла Римана
- Интеграл Римана не может интегрировать функции на неограниченных интервалах.
- Интеграл Римана не удовлетворяет теореме о монотонной сходимости.
-
Основные теоремы интеграла Лебега
- Интеграл Лебега соблюдает отношение эквивалентности почти повсеместного равенства.
- Интеграл Лебега линейен и монотонен.
- Теорема о монотонной сходимости и лемма Фату.
- Теорема о доминирующей сходимости.
-
Альтернативные формулировки
- Интеграл Даниэля и интеграл через функциональный анализ.
- Интеграл Римана существует для непрерывных функций с компактной поддержкой.
-
Ограничения интеграла Лебега
- Не все функции интегрируемы по Лебегу.
- Возможны неправильные интегралы для функций, не интегрируемых по Лебегу.
-
Оформление и идентификаторы
- Использование различных идентификаторов для различных типов блокировок
- Ссылки на изображения для идентификации
- Использование значков для обозначения различных типов блокировок
-
Оформление цитат и ссылок
- Настройка шрифтов и переносов слов для цитат
- Использование кавычек для цитат
- Настройка цвета для цитат
-
Оформление библиографических описаний
- Настройка шрифта и веса для библиографических описаний
- Использование различных тем для оформления
-
Оформление и форматирование текста
- Настройка цвета и размера шрифта для различных элементов текста
- Использование различных стилей для различных элементов текста
-
Общие замечания
- Тщательная обработка текста, особенно для вероятностников
- Классическая, хотя и устаревшая презентация
- Включает презентацию интеграла Даниэля
-
Теория внешних мер
- Хорошая трактовка теории внешних мер
- Известна как “Маленький Рудин”
- Содержит основы теории Лебега, но не теорему Фубини
-
Большой Рудин
- Полное и тщательное изложение теории
- Хорошее изложение теорем о расширении Рисса
- Небольшой недостаток в доказательстве одной из теорем
-
Английский перевод
- Перевод Лоуренса Чисхолма Янга
- Два дополнительных примечания Стефана Банаха
- Подчеркивает интеграл Даниэля