Оглавление
- 1 Набор Кантора
- 1.1 История и свойства множества Кантора
- 1.2 Построение троичного множества Кантора
- 1.3 Формула и свойства троичного множества
- 1.4 Построение Мандельброта
- 1.5 Композиция и мощность множества Кантора
- 1.6 Определение множества Кантора
- 1.7 Конечные точки множества Кантора
- 1.8 Функция из множества Кантора в [0,1]
- 1.9 Мощность множества Кантора
- 1.10 Самоподобие множества Кантора
- 1.11 Закон сохранения природы
- 1.12 Топологические и аналитические свойства
- 1.13 Описание множества Кантора
- 1.14 Топология и метрика
- 1.15 Универсальность и приложения
- 1.16 Мера и вероятность
- 1.17 Числа Кантора
- 1.18 Описательная теория множеств
- 1.19 Варианты и стохастические множества
- 1.20 Исторические замечания
- 1.21 Определение и свойства
- 1.22 Топологические пространства
- 1.23 История и исследования
- 1.24 Примеры и связанные темы
- 1.25 Исторические и культурные аспекты
- 1.26 Полный текст статьи:
- 2 Канторовский набор – Arc.Ask3.Ru
Набор Кантора
-
История и свойства множества Кантора
- Множество Кантора было открыто Генри Джоном Стивеном Смитом в 1874 году и упомянуто Георгом Кантором в 1883 году.
- Кантор и другие ученые заложили основы современной точечной топологии, рассматривая множество Кантора.
- Множество Кантора гомеоморфно счетному произведению дискретного двухточечного пространства.
-
Построение троичного множества Кантора
- Троичное множество Кантора создается путем итеративного удаления средней трети из набора линейных сегментов.
- Процесс начинается с удаления средней трети из интервала [0, 1], оставляя два отрезка.
- Затем удаляется средняя треть каждого из оставшихся сегментов, оставляя четыре линейных сегмента.
- Процесс продолжается бесконечно, оставляя все точки в интервале [0, 1], которые не удаляются.
-
Формула и свойства троичного множества
- Троичное множество Кантора можно описать рекурсивно, установив и для n ≥ 1.
- Явные замкнутые формулы для множества Кантора включают удаление средних третей из замкнутых интервалов.
- Множество Кантора состоит из всех действительных чисел единичного интервала, которые не требуют цифры 1 для троичной дроби.
-
Построение Мандельброта
- Бенуа Мандельброт описывает процесс “свертывания” для представления множества Кантора.
- Процесс начинается с круглой планки, которая “сворачивается” в тонкие плотные шарики.
- Эти шарики располагаются вдоль линии в специфическом порядке.
-
Композиция и мощность множества Кантора
- Множество Кантора не является пустым и содержит бесчисленное количество точек.
- Мощность множества Кантора не меньше, чем у интервала [0, 1], что делает его неисчислимым.
- Функция f из множества Кантора в интервал [0, 1] является сюръективной, что подтверждает равенство мощностей.
-
Определение множества Кантора
- Множество Кантора состоит из троичных чисел, в которых ни одна из первых двух цифр не равна 1.
- Число находится в множестве Кантора, если его троичное представление полностью состоит из 0 и 2.
-
Конечные точки множества Кантора
- Конечные точки множества Кантора — это правильные троичные дроби, которые заканчиваются либо бесконечно повторяющимися 0, либо бесконечно повторяющимися 2.
- Левые предельные точки — это дроби, заканчивающиеся бесконечно повторяющимися 0.
- Правые предельные точки — это дроби, заканчивающиеся бесконечно повторяющимися 2.
-
Функция из множества Кантора в [0,1]
- Функция f переводит троичные числа в [0,1], заменяя все 2 на 1.
- Функция сюръективна, но не инъективна.
-
Мощность множества Кантора
- Множество Кантора имеет столько же точек, сколько интервал [0,1].
- Множество Кантора не содержит интервала ненулевой длины.
-
Самоподобие множества Кантора
- Множество Кантора самоподобно и равно объединению двух функций, которые оставляют его инвариантным.
- Множество Кантора можно визуализировать как бесконечное бинарное дерево.
-
Закон сохранения природы
- За масштабирование и самоподобие отвечает закон сохранения.
- В случае множества Кантора, d-й момент всех сохранившихся интервалов равен константе, равной единице.
-
Топологические и аналитические свойства
- Множество Кантора неисчислимо, но имеет меру Лебега 0.
- Множество Кантора является замкнутым подмножеством вещественных чисел и полным метрическим пространством.
- Каждая точка множества Кантора является точкой накопления, но ни одна из них не является внутренней точкой.
- Множество Кантора полностью отключено.
-
Описание множества Кантора
- Множество Кантора является компактным, полностью изолированным хаусдорфовым пространством.
- Оно гомеоморфно произведению счетного числа копий пространства {0, 1}, где каждая копия имеет дискретную топологию.
- Множество Кантора можно идентифицировать как набор 2-адических целых чисел.
-
Топология и метрика
- Основой для открытых множеств топологии продукта являются цилиндрические множества.
- Множество Кантора гомеоморфно p-адическим целым числам и p-адическим числам без одной точки.
- Множество Кантора является метрическим пространством с обычной метрикой расстояния.
- Можно использовать p-адическую метрику для 2N, которая генерирует ту же топологию.
-
Универсальность и приложения
- Множество Кантора является единственным непустым, полностью несвязанным совершенным компактным метрическим пространством.
- Оно имеет важные приложения в функциональном анализе.
-
Мера и вероятность
- Множество Кантора наделено естественной мерой Хаара, которая является моделью бесконечной последовательности подбрасываний монеты.
- Мера Хаара является образом любой вероятности, что позволяет Кантору задать универсальное вероятностное пространство.
- Множество Кантора имеет нулевую меру Лебега и хаусдорфову меру, равную 1.
-
Числа Кантора
- Каждое действительное число в [0, 2] является суммой двух чисел Кантора.
- Между любыми двумя числами Кантора есть число, которое не является числом Кантора.
-
Описательная теория множеств
- Множество Кантора является скудным множеством как подмножество [0,1].
- Оно демонстрирует, что понятия “размера” в терминах мощности, меры и категории могут не совпадать.
-
Варианты и стохастические множества
- Множество Смита–Вольтерры–Кантора получается удалением фиксированного процента из середины интервала.
- Стохастический набор Кантора может быть получен случайным разделением интервала.
- Пыль Кантора — это многомерная версия множества Кантора, имеющая нулевую меру.
-
Исторические замечания
- Кантор представил множество Кантора как пример идеального точечного множества, не являющегося повсеместно плотным.
-
Определение и свойства
- z = c1/3 + c2/3^2 + … + cν/3ν + …
- Коэффициенты cν могут принимать значения 0 и 2
- Ряд может состоять из конечного или бесконечного числа элементов
-
Топологические пространства
- Топологическое пространство P является совершенным, если все его точки являются предельными
- Подмножества действительной прямой можно рассматривать как топологические пространства в рамках топологии индуцированного подпространства
-
История и исследования
- Кантор изучал производные множества, основываясь на результатах о единственности тригонометрических рядов
- Бенуа Мандельброт писал о канторовской пыли и её связи с естественными фракталами и статистической физикой
- Мандельброт размышлял о загадочной природе таких структур для математического и физического сообщества
-
Примеры и связанные темы
- Индикаторная функция набора Cantor
- Множество Смита–Вольтерры–Кантора
- Функция Кантора
- Куб Кантора
- Ожерелье Антуана
- Снежинка Коха
- Поклонник Кнастера–Куратовски
- Список фракталов по хаусдорфовой размерности
- Последовательность Мозера–де Брейна
-
Исторические и культурные аспекты
- Гравюра с изображением острова Филы из “Описания Египта” Жан-Батиста Проспера Жоллуа и Эдуарда Девилье
- Записи и рекомендации
- Внешние ссылки